二階非齊次常微分方程式

微分方程式 投稿者: なつき 投稿日: 2010 年 2 月19 日 (金) 02時38分34秒
微分方程式 dy/dx + y*cos(x) = e^(-sinx) で初期条件を x = 0, y = 0 とした時,
答えは y = e^(-sinx)*x で合っているでしょうか?
自分で解いてみたのですが, 不安です。

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解答
齊次分解方程式は y' + y cos x = 0.
y'/y = -cos x
log y = -sin x + log C.
y = Ce^{-sin x}.

さて, 元の方程式の両辺に e^{sin x} を掛ける (常套手段)。
y'e^{sin x} + y cos x e^{sin x} = 1.
(y e^{sin x})' = 1.
y e^{sin x} = x + C.
y = xe^{-sin x} + Ce^{-sin x}
ということなので x = 0 の時 y = 0 となる解は y = xe^{-sin x} 以外には存在しない。

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右辺を見ると一見積分出来ないんじゃないかと思うが, ちゃんと出来たので記録しておく。

微分方程式

質問<3772> 2010/2/12
from = 南無三
「微分」

y'' - y = e^x + cos x
色々例題を探しましたがみつかりませんでした。
教えて下さい。

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解答
未定係数法や, 演算子法もありますがこう考えてはどうですか。
y'' - y = y'' - y' + y' - y = (y' - y)' + (y' - y) = e^x + cos x
e^x(y' - y)' + e^x(y' - y) = e^2x + e^xcos x
(e^x(y' - y))' = e^2x + e^xcos x
e^x(y' - y) = (1/2)(e^2x + e^x(sin x + cos x)) - 2C₁
y' - y = (1/2)(e^x + sin x + cos x) - 2C₁e^-x.
e^-xy' - e^-xy = 1/2 + (1/2)e^-x(sin x + cos x) - 2C₁e^-2x
(e^-xy)' = 1/2 + (1/2)e^-x (sin x + cos x) - 2C₁e^-2x
e^-xy = (1/2)x - (1/2)e^-xcos x + C₁e^-2x + C₂
y = (1/2)xe^x - (1/2)cos x + C₁e^-x + C₂e^x

途中の積分はここの例の (7) も参照のこと。

偏微分方程式

質問者: reine1 偏微分方程式
x^2 (∂z/∂x) + (x^4 - xy)(∂z/∂y) = xz + y

この問題が解けなくて困っています。
dx/(x^2) = dy/(x^4-xy) = dz/(xz+y)
として,
dy/dx = (x^4-xy)/(x^2) = x^2-(y/x)
dy/dx + y/x = x^2
に一階線形常微分方程式の公式を適用して、
y = (1/4)x^3 + C(1)(1/x) (C(1)は積分定数)
まで解いたのですが、そもそもここまで合ってるかどうかさえ分かりません。
解き方を教えてください。
自分で確認したいので検算の方法もよろしければお願いします。
質問投稿日時: 09/11/26 14:14 質問番号: 5477454

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回答者: inara1
解法が分かりませんが, 数式処理ソフト (Maple)によれば
x^2*(∂z/∂x) + (x^4 - x*y )*(∂z/∂y) = x*z + y --- (1)
の解は
z = (x^3 - y )/(3*x) + x*f(x*y - x^4/4) --- (2)
となりました。
f(x*y - x^4/4) というのは, 変数が x*y - x^4/y の任意関数です。

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追記 on Friday, November 27, 2009.
上記の解を見ると
u = x, v = xy - x⁴/4
という変数変換をすると上手くいくような気がする。
というのは, 任意函数が, v の函数になっているからである。
このように変換すると
∂/∂x = (∂u/∂x)(∂/∂u) + (∂v/∂x)(∂/∂v) = ∂/∂u + (y - x³)(∂/∂v),
= ∂/∂u + (v/u - u⁴/4 - u³)(∂/∂v),
∂/∂y = (∂u/∂y)(∂/∂u) + (∂v/∂y)(∂/∂v) = 0 + x(∂/∂v) = u(∂/∂v).
これらによって, 最初の方程式は
u²(∂z/∂u) = uz + v/u + u/4
となって, 変数分離形になる。
先ず u(∂z/∂u) = z を解いて, 特殊解 z = u を得るので, 両辺を u³ で割ると
(1/u)(∂z/∂u) = z/u² + v/u⁴ + 1/4
即ち
(∂/∂u)(z/u) = v/u⁴ + 1/4
z/u = -v/(3u) + u/4 + f(v)
z = -v/(3u) + u²/4 + uf(v)
= (x - 4y)/(3x) + xf(xy - x⁴/4)
と解くことが出来る。

さて, 次なる問題は, 何故この変数変換を思い付くかである。
想像としては, 左辺では y は ∂z/∂y の係数にしか出てこないし, しかもこれは y についての一次式である。
だから, u = x, v = py + q (p, q は x だけの式) という変換をすると, v についての微分の項を消去出来そうな気がする。
このとき
∂/∂x = (∂/∂u) + ((p'/p)(v - q) + q')(∂/∂v),
∂/∂y = p(∂/∂v)
となることが上記と同様の計算で分かり, 最初の微分方程式の左辺に代入すると
u²(∂z/∂u) + ((u²(p'/p) - u)v - (p'/p)qu² + pu⁴ - qu + q')(∂z/∂v)
となる。
∂z/∂v の係数を 0 にしたいので, v の恒等式と見ると, 先ず
u(p'/p) - u = 0.
これを解くと p = Cu = Cx となるが, C = 1 とすると p = x.
これを残りの部分に代入してみると
q' = -x³.
即ち (積分定数を 0 として), q = -x⁴/4
となって求めることが出来た。

一般 Riccati 型の微分方程式

質問者: apll 微分方程式の解き方
f"(t) = (1/ω(t)) ω'(t) f'(t) - (ω(t)^2) f(t)
(ここで, " は二階微分、' は一階微分です。)

この微分方程式を f(t) について解きたいのですが, 解けるのでしょうか?

この微分方程式を満たす f(t) を, ω(t)を含む関数として表すことは出来るのでしょうか?
言い換えると, この方程式を f(t) について解くと, ω(t) を含む式になるでしょうか?

ω(t) の具体的な形は決まっていません。

どなたか教えていたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
質問投稿日時: 09/11/25 12:29 質問番号: 5474648

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解答
pascal3141 氏の回答に従って f'(t)=f(t)z(t) と置くと,
z' = (ω'/ω)z - ω² - z²
となる。
これは z = iω を一つの特殊解として持つ一般 Riccati 型の微分方程式である。
これの一般解は p(t) = exp(∫(ω' - 2i)dt) とする時
z = iω + p(t)/(∫p(t)dt + C₁)
となると数学辞典に書いてある。
元に戻すと z = f'/f だから log(f/C₂) = ∫zdt.
従って f = exp(C₂∫zdt).
しかし, 複素数を入れちゃって大丈夫なのだろうか。

二階常微分方程式

38696 微分方程式
名前: K.M. 日付: 2009 年 10 月 29 日 (木) 17時2分
こんにちは。微分方程式を学び始めたばかりですが、この問題に関して質問します。

y=y(x)とする。 y''- x(y') + 2y = 0 を解け。　　('は微分です)

ただの2階微分方程式でないのは分かるんですがよくわからないです。お願いします。
61-8-85-22.flets.tribe.ne.jp (61.8.85.22)
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1; .NET CLR 1.1.4322; .NET CLR 2.0.50727; InfoPath.1; .NET CLR 3.0.4506.2152; .NET CLR 3.5.30729)

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解はこれだが, とても手で求まるとは思えない。
y(x) = 1/4 c_2 (sqrt(2 pi) (x^2-1) erfi(x/sqrt(2))-2 e^(x^2/2) x)+c_1 (x^2-1)
erfi は imaginary error function.
因みに WIZ 氏の置き方 (y = e^p) では y'' = (p'' + (p')^2)e^p となるので, そんなに簡単にはならない。

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追記 (1) at Friday, 30th October, 2009.
(1) 山旅人の言うように, 式の形から y = ax² + bx + c を仮定して代入すると b = 0, c = -a が分かるので特殊解のうちの一つは y = x² - 1 である。
(2) さて, WIZ の言う通り, y = e^p と置くと, 今の特殊解は p = log(x - 1) + log(x + 1) になり, y' = e^pp', y'' = (p''+(p')²)e^p で,
元の方程式は
e^p(p'' + (p')² - xp' + 2) = 0 となる。
ここで更に, z = p' と置き直すと, 特殊解は z = 1/(x - 1) + 1/(x + 1) となり, 微分方程式は
z' + z² - xz + 2 = 0
と変換される。
(3) この方程式は Riccati type の微分方程式である (山旅人も, 名前くらい教えてやっても良さそうなものである)。
そこで Riccati type の微分方程式の一般論 (例えばここ) に従って
z = 1/(x - 1) + 1/(x + 1) + 1/u
と変換すると, (一寸計算して)
u' - x(x² - 5)/(x² - 1) u = 1
という方程式を得る。 随伴方程式を解くと, 特殊解として e^-x2/2(x² - 1)² を得るので, この逆数を両辺に掛けると,
(e^x2/2u/(x² - 1)²)' = e^x2/2/(x² - 1)²
を得る。 即ち
u = e^-x2/2(x² - 1)² ∫e^x2/2/(x² - 1)² dx.
ここで z に戻すと
z = 2x/(x - 1)² + e^x2/2(x² - 1)^-2/∫ e^x2/2/(x² - 1)² dx
で (2) より z = p' だったことを思い出せば
p = log C₁(x² - 1) + log∫e^x2/2dx/(x² - 1)²
更に戻って考えると,
y = C₁(x² - 1)∫e^x2/2dx/(x² - 1)²
(1) での議論も思い出せば, 一般解は
y = C₁(x² - 1)∫e^x2/2dx/(x² - 1)² + C₂(x² - 1)
となる。 (Wolfram alpha の結果は, 多分こいつを部分積分したもの)

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追記 (2) at Saturday, 31st October, 2009.
[定数変化法]
上記のように, 特殊解の一つが y = x² - 1 なので, 定数変化法を用いて解く事が出来るはずである。
y = (x² - 1)u
と置く。 すると y' = 2xu + (x² - 1)u', y'' = 2u + 4xu' + (x² - 1)u'' となるので代入すると
(x² - 1)u'' - x(x² - 5)u' = 0
となる。
即ち
u''/u' = x(x² - 5)/(x² - 1) = x - 4x/(x² - 1).
log u' = x²/2 - 2log(x² - 1) + C₀
u' = C₁e^x2/2/(x² - 1)²
u = C₁∫e^x2/2dx/(x² - 1)² + C₂.
従って, y = C₁(x² - 1)∫e^x2/2dx/(x² - 1)² + C₂(x² - 1).
となるはずなのだが, Wolfram alpha の出した解や, 上記の解と違い過ぎるのが気になるのだが, どこが間違っているのだろう。

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追記 (1) の計算間違いを発見したので, 大幅に訂正 on Monday, 2nd November, 2009.