？H1G%0:切り捨て演算子による剰余の表現

@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/99780cca144a4f5b2936eb180ae1d95c
=？H1G%0:切り捨て演算子による剰余の表現
/作成中（無視してください）

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%0:切り捨て演算子による剰余の表現
%01:まえがき一般には用いられていない[%031]の演算子Δ（ゴシック，14pt，斜体）を用いて説明する．
%02:目次{}
%03:補遺
%31:？GCA:割り算の教え方
http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/3e14e23cfc4696bc2a179504bf4a5682
%031:A plain approach to teach modular arithmetic, ICEE2006-3256.
http://www.ineer.org/Events/ICEE2006/papers/3256.pdf
%032:WIP - Operational notation of fractions for signal processing
http://fie-conference.org/fie2004/papers/1248.pdf
・IEEEの終身会員でしたが未更新のため(?)閲覧不能
%033:
%04:訂正{}

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%1:実数の剰余
%11:切り捨て演算子（「Γ」）
実数「x」を超えない最大の整数を「Γx」で表わす．（「Γ」:Gauss）
%12:剰余演算子（「mΔ」）
実数「x」用の演算子「Δ」を「Δx=x-Γx」と定め，実数「x」を自然数「m」で割った剰余「x mod m」（「y≡x(mod m)」となる「y(0`≦y`＜m)」）を「mΔ(x/m)」で表わす．
・e.g.「Δ3.14=0.14」，「Δ(-3.14)=0.14」
%2:多項式の剰余
変数「x」の実係数の多項式「P(x)」，「G(x)」に対して
　P(x)=Q(x)*G(x)+R(x)（「R(x)」は「G(x)」より低次の多項式）
である「Q(x)」を「P(x)/G(x)」の商といい，「Q(x)=Γ(P(x)/G(x))」とかく．また
「R(x)」を「P(x)/G(x)」の剰余といい，「R(x)=G(x)Δ(P(x)/G(x))」とかく．
・考え方は[？GCA:割り算の教え方]の「商」，「剰余」と同じ．
・[？H13%0:多項式の計算]参照
・e.g.「(x+2)/(2x+3)=(1/2)*(2x+3)+(1/2)」
・e.g.「Γ(x+2)/(2x+3)=1/2」，「Δ(x+2)/(2x+3)=1/2(2x+3)」
%11:切り捨て演算子（「Γ」）
・e.g.「Γ(x+2)/(2x+3)=1/2」，「Δ(x+2)/(2x+3)=1/2(2x+3)」
%22:剰余演算子（「G(x)Δ」）
・e.g. Γ(x⁴-1+2x-3)/(x²+1)=(x²-1)(x²+1)/(x²+1)+(2x-3)/(x²+1)」
　　「Γ(x⁴-1+2x-3)/(x²+1)=x²-1」
　　「Δ(x⁴-1+2x-3)/(x²+1)=(2x-3)/(x²+1)」

aa

G6E%10:命題と集合

@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/3c92c410c825be0329ba64eb829eb092
=G6E%10:命題と集合
/GA9

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G6E%10: 命題と集合
真偽を仮定できる文を命題という．
%101:「この花は赤い」は命題，「この小さい赤い花」は命題でない．
命題X，Yの真偽がつねに等しいことを「X=Y」で表わす．
%102:命題Xが真であることを「X=T」偽であることを「X=F」と書く．
P(x)=「xは正の整数である」とする．
%103:正の整数を自然数という．
%1031:[%31]の「目次2:自然数の歴史と零の地位」に詳しい説明があります．
・当初は単なる便宜的な記数法であったが空集合の元の数を表わす大発明となった。
%1032:[%35]の「目次3.1 自然数の公理」にペアノの公理の説明があります．
%1033:[%033]の「目次3.3 述語論理」に述語論理（一階述語論理）の説明があります．
・二階述語論理や高階述語論理についての詳細は[%1033]で紹介されている
「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。
%104:Nが自然数の集合であることを「N={x;「xは正の整数である．」}」と書く．
%1041:「xは正の整数である．」（肯定文）を「xは正の整数」と略記する．
%1042:数学では通常自然数の集合を「N」の黒板太字体で表わす．
・[%38]の「目次1 表示例」に詳しい説明があります．
・「」が自然数であることを「y∈N」と書く．
・ブログでは黒板太字体の文字の背景色をシアンにします．
・ユニコードでは、比較的よく用いられるごく僅かの黒板太字体の文字 (C, H, N, P, Q, R, Z) が基本多言語面 (BMP) に Letterlike Symbols (2100-214F) 面に、DOUBLE-STRUCK CAPITAL C などとして収録されている．
・「Z」は整数の集合，「Q」は有理数の集合，「R」は実数の集合，「C」は複素数の集合．

G6E%11: 真理値表
「X」が真(true)であることを「X=T」と書く．偽(false)であることを「X=F」と書く．
命題 X，Y の関数「f(X,Y)」は次のような真理値表で定義する．
「￢X」=「Xでない」（否定）
「X∧Y」=「XかつY」（論理積）
「X∨Y」=「XまたはY」（論理和）
「X⇒Y」=「XならばY」
・「X⇒Y」の真理値表は分りにくいが使っていると納得できる．
 +-----+-------+-------+-------+--------+
 | X Y | ￢X 　| X∧Y　| X∨Y　|　X⇒Y　|
 +-----+-------+--------+--------+------+
 | F F |　 T 　|　 F 　|　 F 　|　 T 　 |
 +-----+-------+--------+--------+------+
 | F T |　 T 　|　 F 　|　 T 　|　 T 　 |
 +-----+-------+--------+--------+------+
 | T F |　 F 　|　 F 　|　 T 　|　 F 　 |
 +-----+-------+--------+--------+------+
 | T T |　 T 　|　 T 　|　 T 　|　 T 　 |
 +-----+-------+--------+--------+------+
G6E%12:命題の計算
・二項演算の公式冪等則，交換則，結合則，吸収則，分配則，については[%36]参照．
%121:高校で学ぶ推論の仕方は命題論理のつねに真である式で表現できる．
%1211:背理法
「X⇒(￢X)」=「X=F」「(￢Y)⇒(￢X)」=「X⇒Y」
%1212:三段論法
「X⇒Y」∧「W⇒X」∧「W」⇒「Y」

%13: 述語
「x=y」とは任意のP に対して「P(x)=P(y)」が 成立することを意味する．
全称記号∀

 

，存在記号∃

 

 を含む命題に対しては,
「￢∀x, P(x)」=「∃x, ￢P(x)」 
「￢∃x, P(x)」=「∀x, ￢P(x)」 
と考える．

%14: 集合の計算
「(左辺)=(右辺)」によって右辺の式で左辺の意味 を定義し，
集合「A」，「B」に対して次の演算を定める．
「a, b」のみを元とする集合を「A={a,b}」で表わし，「B={b,c}」とすると
共通集合：「(A∩B)={b}」 
合併集合：「(A∪B)={a,b,c}」
直積集合：「(A×B)={(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)}」

 

であり，  「(^c A∩B^c)={a}」

 

ぼんさいメモの記事の紹介

@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/cec34b22a6be3f14b5230b1827cbf601
=ぼんさいメモの記事の紹介
/

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ヘッダー部が「@□」「=□」「/□」であるgooブログの記事をにほんブログ村で紹介するときはリンク先のurlを「@□」の「□」に切り替えてください．
/
・e.g. =遠吠え委員長の記事をコピーして貼りつけた場合「遠吠え」，「渡辺喜美」「河野太郎」等へのリンクは消えてしまいます．
/

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学習指導要領からの引用
G7G%0:算数で学ぶ用語と記号
未校正のコピー
G7A%0:小学校で学ぶ算数
G7B%0:中学校で学ぶ数学
G7C%0:高等学校で学ぶ数学
/

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カテゴリー0:記号
G65%0:ぼんさいメモの記事の投稿日
ぼんさいノートの参照
ぼんさいトピックスの参照
参考図書
参考図書の参照
疑似コードの記号
gooブログで使用する特殊文字
gooブログでのフォント指定
/

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カテゴリー1:備忘録
goo のパスワード
Adobe Readerによる閲覧
パナマ文書
川崎老人ホーム連続殺人事件
山陽道トンネル事故
熊本で地震
AlphaGo 
androidの大文字入力
html タグ
Adobe Readerによる閲覧
Color Noteのカレンダー
gooブログで使用する特殊文字
gooブログのタイトルによる参照
[G58] progCP-s.pdf　の　Ex4-1.c　に関する想定質疑
/

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カテゴリー2:日記

生前退位
都知事選
第24回参議院議員通常選挙
ブログ再開
マイナス金利
日本の借金
軽減税率
個人金融資産
不動産に投資？
もんじゅ（原子炉）
goo のパスワード
ブログの参照
gooブログのカレンダー
カテゴリーの削除
gooのブログツール
android端末による検索
googleアカウントのパスワード
マイナンバー
/

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カテゴリー3:らくがき
遠吠え委員長
のれん総理
異次元総裁
警告と扇動（ピケティ21世紀の資本）
/

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4:提案
[G49] ペグソリティアの記録紙
[G49] 数独の解法例
[G3F] 介護施設の監視
[G3F] 保険証の本人確認
[G3F] 個人向け国債
[G3L]一票の格差
[G5G]Ｃを理解するための擬宣言

（準備中）
/

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-カテゴリー5:リハビリ
/

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カテゴリー6:介護
平成28年度社会福祉関係予算のポイント
/

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カテゴリー7:医療
電気刺激 2016-04-10

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カテゴリー8:未削除
主としてgooブログに投稿した記事を分類するためのカテゴリーです．
タイトルをクリックすると直接記事(html)にジャンプします．
G5R%0:分数の計算
G63%0:「分数の計算」を読むための説明

 %hr

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カテゴリー9:ＰＤＦ
□.pdfはぼんさいノート＋関連資料からダウンロードしてください．
・別ウィンドウで閲覧すればファイル内の章，節は目次から直接ジャンプできます．
bonsai.juku.ez%0:「Ezぼんさい塾」の構成（案）
bonsai.juku.sns%0:「ぼんさい塾（ＳＮＳ）」の構成（案） 
[G58]  progCP-s.pdf　の　Ex4-1.c　に関する想定質疑
[G5H]progCP-s%0:Ｃを理解するための擬宣言
%01:まえがき
内容はyaCP-s%0:速習Ｃの宣言と同じです．
CP-s.pdfはぼんさいノート＋関連資料からダウンロードしてください．
・yaCP.pdf(yet another CP)はprogC.pdfと独立に作成（i.e. 非参照）．
yaCP-s%1:  データの表現       
yaCP-s%2: 式の計算   
 [-] yCP-s%3:制御文
 [-] yCP-s%4:ポインタと多次元配列
 [-] yCP-s%５:関数
[-]yCP-s%6:構造体
[-]yCP-s%7:標準ライブラリ
[G5G]CP-s0%:8:あとがき              

 /

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G7C%3:高３の数学

@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/b021ed87008f5f0ae7674af5c01bbd9b
=G7C%3:高３で学ぶ数学
/現行学習指導要領（数学Ⅲ）からの引用です．
/第３節 数学Ⅲ…………………………………………………………………………… 36
３ 内容と内容の取扱い………………………………………………………………… 36
（1）平面上の曲線と複素数平面……………………………………………………… 36
（2）極限………………………………………………………………………………… 39
（3）微分法……………………………………………………………………………… 41
（4）積分法……………………………………………………………………………… 42
/

---

G7C%31:(1) 平面上の曲線と複素数平面
(1) 平面上の曲線と複素数平面 平面上の曲線がいろいろな式で表されること及び複素数平面について理解し，それらを事象 45 の考察に活用できるようにする。
ア 平面上の曲線 (ｱ) 直交座標による表示
放物線，楕円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質につ だ いて理解すること。 (ｲ) 媒介変数による表示 媒介変数の意味及び曲線が媒介変数を用いて表されることを理解し，それらを事象の考察 5 に活用すること。 (ｳ) 極座標による表示 極座標の意味及び曲線が極方程式で表されることを理解し，それらを事象の考察に活用す ること。
イ 複素数平面 10 (ｱ) 複素数の図表示 複素数平面と複素数の極形式，複素数の実数倍，和，差，積及び商の図形的な意味を理解 し，それらを事象の考察に活用すること。 (ｲ) ド・モアブルの定理 ド・モアブルの定理について理解すること。 
G7C%311: [用語・記号] 焦点，準線
[内容の取扱い] (1) 内容の(1)のアの(ｲ)及び(ｳ)については，二次曲線や内容の(3)及び(4)で取り上げる曲線を 中心に扱うものとし，描画においてはコンピュータなどを積極的に活用するものとする。
「数学Ⅱ」の「(2) 図形と方程式」において，直線や円などの性質及びその関係を，直交座標と 式を用いて解析幾何学的な方法によって考察することを学習している。 ここでは，幾何学的な定義に基づいて導き出された二次曲線の方程式とその概形について考察し， 二次曲線の基本的な性質を理解させる。また，曲線を表す式として媒介変数を用いた式や極方程式 25 を理解させる。そしてそれらを具体的な事象の考察に活用できるようにする。 複素数については，「数学Ⅱ」の「(1) いろいろな式」の「イ 高次方程式」で，その概念や演 算について学習し，更に二次方程式の解の性質や簡単な高次方程式の解法も学習している。 ここでは，複素数平面を用いて複素数を図表示し，複素数の実数倍，和，差，積及び商の幾何学 的な意味を理解させ，ド・モアブルの定理を扱う。 30 ア 平面上の曲線 (ｱ) 直交座標による表示 ここでは，考察の範囲を直線や円から二次曲線まで広げ，二次曲線の基本的な性質を理解させる とともに，解析幾何学的な方法についての理解を深め，さらに，それらを軌跡など具体的な事象の 35 考察に活用できるようにする。二次曲線と直線との位置関係を考察させることも考えられる。 放物線，楕円，双曲線については，幾何学的な定義に基づいて曲線の方程式を導き，それぞれの 曲線の基本的な性質について理解させる。ただし，二次曲線を回転させて考察することは含まれな い。 例えば，放物線については，座標平面上の定点Ｆ(p,0)と，Ｆを通らない定直線 l(x=-p)までの距 40 離が等しい点の軌跡として定義し，放物線の方程式の標準形 y2＝4px を導く。このとき，定点Ｆが 焦点，定直線 l が準線である。なお，「数学Ⅰ」の二次関数のグラフが放物線であることを確認し ておくことも大切である。 楕円については，座標平面上の相異なる２定点Ｆ(c,0)， (-c,0)からの距離の和が一定(＝2a)
である点の軌跡として定義し，楕円の方程式の標準形 (b2＝ a2－ c2)を導く。このとき，２定点Ｆ， が焦点である。このほかに，中心が原点で半径が a の円を，y 軸方向に 倍して標準形を導くことも考えられる。 また，双曲線については，座標平面上の相異なる２定点Ｆ(c,0)， (-c,0)からの距離の差が一定(＝2a)である点の軌跡として定義し，双曲線の方程式の標準形 (b2＝ c2－a2)を導く。
このとき，２定点Ｆ， が焦点である。なお，双曲線の漸近線の存在やその方程式を導く際には， 5 直観的に理解させるようにする。例えば，双曲線がその中心から遠ざかるにつれて，次第に一定の 直線に接近していく様子をコンピュータなどを用いて確認させることが考えられる。 (ｲ) 媒介変数による表示 曲線は，媒介変数 t を用いて x ＝ f(t)，y ＝ g(t)と表示することができる。ここでは，楕円など を媒介変数で表示する以外に，次のような曲線を扱うことが考えられる。 10 サイクロイド x＝ a(t － sin t)， y ＝ a(1 － cos t) アステロイド x＝ a cos3t， y ＝ a sin3 t (0 ≦ t ≦ 2 π) 曲線を描画する際，媒介変数による表示は有用であり，そのよさの理解を深めるため，[内容の 取扱い]の(1)にあるように，コンピュータなどを活用して曲線をかき，それを観察する。簡単な曲 線については，対応表にしたがって点をプロットしてかかせることも有用である。 15 (ｳ) 極座標による表示 平面上の点 P は，定点 Oからの距離 r と，O を端点とするあらかじめ定められた半直線と OP と のなす角 θ を用いても定めることができる。ここでは，極座標の意味，極座標と直交座標の関係に ついて理解させるとともに，コンピュータなどを用いて極方程式で表された曲線をかき，曲線と極 方程式との関係について理解させる。 20 極座標や極方程式の意味を理解させるために，例えば，アルキメデスの渦巻線 r ＝ θ などについ て対応表にしたがって点をプロットしてかかせたり，楕円などを離心率を用いて極方程式で表した りする。また，極座標（r, θ）と直交座標(x，y)の関係 x = r cos θ，y = r sin θ についても理解させ る。
25 イ 複素数平面 (ｱ) 複素数の図表示 ここでは，座標平面上の点に複素数を対応させることにより複素数平面を導入し，複素数平面上 の各点が複素数を表していることを理解させる。その際，「数学Ｂ」の「ベクトル」を履修してい れば，複素数の和，差及び実数倍の図表示を，ベクトルの和，差及び実数倍と関連付けて扱うこと 30 もできる。 また，複素数 z の絶対値をr，偏角の大きさを θ として，z の極形式 z ＝ r（cosθ ＋isinθ） を導く。さらに，二つの複素数の積，商が z １ z ２＝ r １ r ２{(cos（θ１＋θ２）＋ isin（θ１＋θ２） }
35 ＝{ cos（θ １－θ ２）＋ isin（θ １－θ２） }
で与えられることを，三角関数の加法定理を用いて導き，複素数の積，商の幾何学的な意味を理解 させる。特に，z に i をかけることは，点ｚを原点のまわりに 90°回転させることになることを理 解させる｡これらにより，複素数の図的表象が定着し複素数も実数と同様，仮想の数でないことが 分かる。 40 (ｲ) ド・モアブルの定理 極形式による複素数の積の拡張として，ド・モアブルの定理 （cosθ ＋isinθ）n ＝ cos nθ ＋ i sin nθ を導く。また，簡単な場合について，二項方程式 zn － a ＝０ の解を複素数平面上に図示し，累乗 根をその幾何学的意味と関連付けて扱う。これらの扱いを通して，複素数の諸演算が平面上の図形の移動などと関連付けられることを認識させるとともに，極形式による表現のよさを理解させる。 さらに，平面図形への応用を扱うことも考えられる。その際，いたずらに計算の複雑なものを取り 上げるのではなく，複素数の利点を十分に活用できるものを選ぶよう配慮する。
G7C%32: (2) 極限
(2) 極限 数列や関数値の極限の概念を理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。
ア 数列とその極限 10 (ｱ) 数列の極限 数列の極限について理解し，数列 の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。 また，数列の極限を事象の考察に活用すること。 (ｲ) 無限等比級数の和 無限級数の収束，発散について理解し，無限等比級数などの簡単な無限級数の和を求める 15 こと。また，それらを事象の考察に活用すること。
イ 関数とその極限 (ｱ) 分数関数と無理関数 簡単な分数関数と無理関数及びそれらのグラフの特徴について理解すること。 (ｲ) 合成関数と逆関数 20 合成関数や逆関数の意味を理解し，簡単な場合についてそれらを求めること。 (ｳ) 関数値の極限 関数値の極限について理解し，それを事象の考察に活用すること。 [用語・記号] ∞
25 [内容の取扱い] (2) 内容の(2)のイの(ｳ)については，関連して関数の連続性を扱うものとする。
極限については，「数学Ⅱ」の「(5) 微分・積分の考え」において，微分係数を求める過程で直 観的に理解させている。ここでは，微分法，積分法の基礎を培う観点から極限の直観的な理解に重 30 点を置きながら，数列の極限を学習するとともに，扱う関数を簡単な分数関数や無理関数まで広げ て関数値の極限を求めることができるようにする。また，極限の考えを用いて関数の連続性も扱う。
ア 数列とその極限 数列については，「数学Ｂ」の「(2) 数列」で扱っているが，この内容を履修していないことも 35 考えられるので，指導に当たっては配慮が必要である。 ここでは，数列 が収束するための条件などを基にして簡単な数列の極限を求めることがで きるようにする。また，無限等比級数の収束，発散について理解し，それを事象の考察に活用でき るようにする。 (ｱ) 数列の極限 40 ここでは，数列 が収束するためのr の条件は r ＝１又は｜ r ｜＜１であることや，数列の極 限に関する基本的な性質を理解させ，これらを用いて簡単な数列の極限を求めることができるよう
にする。ここでいう「簡単な数列」とは，等差数列や等比数列のほか のような一般
項が分数で表される数列など直観的に極限が求められるものである。 また，数列の極限を事象の考察に活用できるようにする。例えば， が漸化式 ， で定義される数列{an}の極限であることを用いて， の近似値を求めることを扱うことなどが考えられる。 (ｲ) 無限等比級数の和 無限等比級数が収束する場合と発散する場合のそれぞれについて，公比が満たすべき条件につい 5 て理解させる。 また，無限等比級数が収束する場合について，その和の公式を導き，それを用いて具体的な問題 の解決に活用できるようにする。例えば，循環小数を分数で表わすことを扱う。なお，ここでいう 「簡単な無限級数」とは，その初項から第 n 項までの和が，(ｱ)の簡単な数列で表わされるもので ある。 10 イ 関数とその極限 関数については，「数学Ⅰ」で二次関数を扱い，「数学Ⅱ」で三角関数，指数関数・対数関数及び 三次までを中心とした多項式関数を扱っている。ここでは，分数関数と無理関数を扱い，関数概念 の理解を一層深める。また，多項式関数，分数関数，無理関数，三角関数，指数関数及び対数関数 15 の関数値の極限も求めることができるようにする。 (ｱ) 分数関数と無理関数 分数関数は，ここでは分母が一次式のものを扱う。
例えば， について漸近線の方程式などを求め，グラフの概形がかけるようにする。
無理関数は，ここでは根号の中の式が一次式で表されるものを扱う。 20 例えば，関数 のグラフは，関数 のグラフの y ≧ 0 の部分であることを理解 させ，グラフの概形がかけるようにする。 (ｲ) 合成関数と逆関数 ここでは，合成関数や逆関数の意味を理解させ，多項式関数や(ｱ)の分数関数や無理関数などを 用いた簡単な場合について，合成関数や逆関数を求められるようにする。
25 合成関数については，例えば は， と置き換えることによって に帰着できる
ことなどを理解させる。 逆関数については，元の関数が１対１の対応であるとき，x の定義域と y の定義域についてその 逆の対応を考えることによって逆関数が定義できることや，逆関数のグラフと元の関数のグラフが 直線 に関して線対称の位置にあることなどを理解させる。また，対数関数が指数関数の逆 30 関数であることもここで触れる。 (ｳ) 関数値の極限 関数値の極限に関連するものとしては，「数学Ⅱ」の「(5) 微分・積分の考え」の「ア 微分の 考え」で多項式関数の微分係数を求める際に，
35 を扱っている。 ここでは，多項式関数，分数関数，無理関数，三角関数，指数関数及び対数関数について，x の 値を限りなく aに近付けたときの f(x)の極限や x の値を限りなく大きくしたときの f(x)の極限につ いて理解できるようにする。三角関数の極限では
40 を扱う。 また，[内容の取扱い]の(2)にあるように，関数のいろいろな性質を考えていくとき重要になる 関数の連続性も関連してここで扱う。その際，連続関数の重要な性質である中間値の定理を扱うこ
n
n n a a a 1 21 +=+ 2 1 =a 2
1+= xy 1 2 −= yx
() ( ) ( ) h afhafaf h −+=′ →0 lim
1
sin
lim
0
=
→
θ θ
θ
2 1
− −
=
x x
y
1
1 +
=
x y 1 += xu u y 1 =
xy =
- 41
とも考えられる。
G7C%33:(3) 微分法
5 (3) 微分法 微分法についての理解を深めるとともに，その有用性を認識し，事象の考察に活用できるよ うにする。 ア 導関数 (ｱ) 関数の和・差・積・商の導関数 10 関数の積及び商の導関数について理解し，関数の和，差，積及び商の導関数を求めること。 (ｲ) 合成関数の導関数 合成関数の導関数について理解し，合成関数の導関数を求めること。 (ｳ) 三角関数・指数関数・対数関数の導関数 三角関数，指数関数及び対数関数の導関数を求めること。 15 イ 導関数の応用 導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減， 極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。また，それらを事 象の考察に活用すること。 [用語・記号] 自然対数， ，第二次導関数，変曲点 20 [内容の取扱い] (3) 内容の(3)のイについては，関連して直線上の点の運動や平面上の点の運動の速度及び加速 度を扱うものとする。
25 「数学Ⅱ」の「(5) 微分・積分の考え」の「ア 微分の考え」では三次までの多項式関数を中心 に，関数の定数倍，和及び差の導関数を扱っている。また，導関数を活用して関数値の増減を調べ たり，関数のグラフをかいたりすることなども扱っている。 ここでは，これらを更に発展させ，和，差，積，商及び合成関数の微分法を扱い，多項式関数だ けでなく，分数関数，無理関数，三角関数，指数関数及び対数関数の導関数について理解させる。 30 また，これらの関数について，関数値の増減やグラフの凹凸などの考察を通して，微分法の有用性 を認識させるとともに，微分法を速度・加速度などの考察にも活用できるようにする。
ア 導関数 (ｱ) 関数の和・差・積・商の導関数 35 関数の定数倍，和，差，積及び商の導関数の公式を導き，それらの公式を用いていろいろな関数 の導関数が求められるようにする。 数学Ⅱでは，多項式関数のうち三次までのものを中心に扱っているので，ここではまず， (xn)'=nxn-1 (n は自然数)が成り立つこと及び一般の多項式関数の導関数の求め方を確認する。さらに，商の導 関数の公式により，n が任意の整数であってもこの公式が成り立つことを示し，有理関数について 40 もその導関数を求められるようにする。 なお，分数関数の導関数を求める場合には，その計算が複雑になり過ぎないよう配慮する。 (ｲ) 合成関数の導関数 合成関数の導関数の公式を導き，この公式を用いて，やや複雑な関数の導関数も求められるよう にする。 45 特に，先に導いた公式(xn)'=nxn-1 は n が任意の有理数のときにも成り立つことを確かめるととも に，無理関数の導関数を求めることができるようにする。 また，ここで逆関数の導関数を扱うことが考えられる。 (ｳ) 三角関数・指数関数・対数関数の導関数
e
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三角関数，指数関数及び対数関数の導関数が求められるようにする。 sin x の導関数は，次の式を利用して求めることができる。 ，
三角関数の和及び差を積に変換する公式を導いてそれを利用することも考えられる。 5 指数関数及び対数関数においては，「数学Ⅱ」の「(3) 指数関数・対数関数」でひととおり扱っ ているが，ここでは，これらの関数の導関数を求めるため自然対数の底 e を導入しておく必要があ る。その導入の仕方としては，例えば，h の値が限りなく０に近づくとき， の極限値が存
在することを納得させ，それを e とする方法がある。また，n の値を，限りなく大きくしたとき の極限値が存在することを納得させ，それを e とする方法なども考えられる。いずれの方法におい 10 ても，コンピュータなどを活用して極限の存在を確認させることが大切である。
なお， を前提とする場合には，対数関数の導関数を定義にしたがって求めるこ
とができる。さらに，指数関数が対数関数の逆関数であることから，対数関数を基にして指数関数 の導関数を求めることもできる。
15 イ 導関数の応用 「数学Ⅱ」の「(5) 微分・積分の考え」の「ア 微分の考え」では，平均変化率を基にして，微 分係数が接線の傾きを表すことや，多項式関数について，そのグラフの接線の傾きを求めることを 扱っている。 ここでは，いろいろな関数の導関数の公式を基にして，接線の方程式，関数値の増減，極大・極 20 小，凹凸，速度及び加速度などを扱う。接線と関連付けて，一次の近似式を扱うことも考えられる。 「数学Ⅱ」では，微分係数の正・負の符号によって多項式関数の増加・減少を直観的にとらえた。 関数値の増減は，最大・最小の問題とも結び付き，導関数の応用として中心的な位置を占めるもの である。なお，「 ならば関数 y は増加する」などの事実は平均値の定理を用いて説明すること ができるが，平均値の定理が成り立つことについては，図などを用いて直観的に理解させるように 25 する。 第二次導関数については，それを単に計算して求めるだけでなく，曲線の凹凸や変曲点を調べる のに有効であること，関数のグラフの特徴をより正確にとらえることができることなどと関連付け ながら扱うことが大切である。また，ここで，グラフの漸近線を扱うことも考えられる。 さらに，[内容の取扱い]の(3)にあるように，直線上の点の運動や平面上の点の運動について， 30 速度及び加速度と点の位置を表す関数の導関数との関係を理解させる。速度，加速度は， 科学への導関数の応用として最も身近なものの一つである。ここでは，直線上の点の運動や平面上 の点の運動が考察の対象となるが，動点の位置が時刻の関数となっている場合，速度，加速度の大 きさや方向を視覚的にとらえるため，それをベクトルで表すことが考えられる。ただし，ベクトル は「数学Ｂ」の「(3）ベクトル」の内容であり，この内容を履修していないことも考えられるので， 35 指導に当たっては配慮が必要である。
G7C%34:(4) 積分法
(4) 積分法 40 積分法についての理解を深めるとともに，その有用性を認識し，事象の考察に活用できるよ うにする。 ア 不定積分と定積分 (ｱ) 積分とその基本的な性質
不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定 積分を求めること。 (ｲ) 置換積分法・部分積分法 置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合についてそれらを用いて不定積分 5 や定積分を求めること。 (ｳ) いろいろな関数の積分 いろいろな関数について，工夫して不定積分や定積分を求めること。 イ 積分の応用 いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを定積分を利用し 10 て求めること。
[内容の取扱い] (4) 内容の(4)のアの(ｲ)については，置換積分法は ax+b=t,x=asinθ と置き換えるものを中心に 扱うものとする。また，部分積分法は，簡単な関数について１回の適用で結果が得られるもの 15 を中心に扱うものとする。
微分法と同様に，扱う関数の範囲を広げ，「数学Ⅱ」の「(5) 微分・積分の考え」の「イ 積分 の考え」を発展，充実させて扱う。特に，積分の基本的な性質や置換積分法及び部分積分法につい て理解させ，これらの方法に習熟させるとともに，その有用性を認識し，図形の面積や立体の体積 20 を求めることなどに活用できるようにする。 不定積分の計算のために，例えば，分数関数を部分分数に分けたり，三角関数の積を和に直した りする公式が必要になる場合には，適宜補充して指導する。 なお，今回の改訂では，平面上の曲線を「数学Ⅲ」で扱うこととしたため，内容相互の関連を考 慮し従前の「数学Ⅲ」の「イ 積分の応用」で扱っていなかった曲線の長さ（「道のり」を含む。） 25 も扱うこととした。
ア 不定積分と定積分 (ｱ) 積分とその基本的な性質 「数学Ⅱ」での学習状況を踏まえ，不定積分及び定積分の意味や不定積分の線形性についてまと 30 めるとともに，次のような定積分の基本的な性質を扱う。
(ｲ) 置換積分法・部分積分法 合成関数の微分法から得られる置換積分法，積の微分法から得られる部分積分法を扱う。これら の方法を用いれば，直接には求めることができない不定積分や定積分が比較的簡単に求められる場 35 合があることを理解させ，簡単な場合について不定積分や定積分を求めることができるようにする。 ただし，[内容の取扱い]の(4)に示されているように，置換積分法は ， と置き 換える程度のものを中心に扱うものとする。また，部分積分法は，簡単な関数について１回の適用 で結果が得られるものを中心に扱うものとする。 (ｳ) いろいろな関数の積分 40 「(3) 微分法」で，多項式関数，分数関数，無理関数，三角関数，指数関数及び対数関数などの 微分を扱っている。 ここでは，それらの逆演算として積分の計算を扱い，積分の対象となる関数の範囲を広げるとと もに，置換積分法，部分積分法などを適切に利用できるようにする。 積分は微分の逆演算であるとの考え方については，既に「数学Ⅱ」でひととおり扱っているが， 45 ここで扱う題材の難易や考え方の深さからみて，単に「数学Ⅱ」の延長上にあるというだけでなく， tbax =+ θ sinax =
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発展的な構成になっているという認識が必要である。
イ 積分の応用 面積については，「数学Ⅱ」で簡単な二つの曲線で囲まれた図形の面積を扱っている。ここでは， 5 いろいろな曲線で囲まれた図形の面積を求めることを扱う。また，サイクロイドのように，媒介変 数で表された曲線によって囲まれた図形の面積を求めることも考えられる。 体積については，ここで初めて積分による体積の求め方を扱う。「平面図形」の面積を求めた方 法を基にして，簡単な角錐などの体積を求め，積分の考えの有用性を理解させる。さらに，区間［a， b］において，曲線 y=f(x)とx 軸とで囲まれた図形を x 軸の回りに回転させてできる立体の体積Ｖ 10 が次の公式で求められることを導く。
この公式を用いて，円柱，直円錐及び球の体積が求められる。 また，面積や体積に関連して，区分求積法の考えに基づいて定積分を理解させたり，積分法の記 号の意味を理解させたりすることも考えられる。 15 曲線の長さについては，簡単な式で表される曲線であっても積分によってその長さを求められな い場合があることに注意する。ここで取り扱う曲線の例としては，円弧やサイクロイド，アステロ イドなどが考えられる。曲線の長さを求めることと関連して，点が運動する場合の「道のり」に触 れることも考えられる

G9C%0:高等学校で学ぶ理科

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