スカイプの方より、次の問題が解けないので、教えて欲しいとありました。
＜問題＞
三角形ABCにおいて、BC=2、∠B=60、∠C=45 の時、外接円の半径を求めよ。 （範囲は数学Ⅰ・Aのみ）
※角度のX°の「°」は省略します。
＜疑問＞
∠A = 180-(60+45) = 75
∠A = 75 なので、これは数学Ⅰの範囲で解けるのか？
結論を言えば、やや技巧的だが、数学Ⅰの範囲で解けます。
しかし、数学Ⅱの範囲で解いた方が分かりやすいです。
===== 公式の確認 =====
（数学Ⅰ）
正弦定理 2R = a/sinA = b/sinB = c/sinC
余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc・cosA
（数学Ⅱ）
加法定理 sin(A + B) = sinA・cosB + cosA・sinB
※覚え方：「咲いたコスモス、コスモス咲いた」と覚える
＜数学Ⅱの解法＞
sin75
= sin(30 + 45) = sin30・cos45 + cos30・sin45 （加法定理より）
= (√3/2)・(√2/2) + (1/2)・(√2/2)
= (√6 + √2)/4
正弦定理より
2R = 2/sin75 = 2/{(√6 + √2)/4} = 8/(√6 + √2)
R = 4/(√6 + √2) = 4(√6 - √2)/(6 - 2) = √6 - √2 ...Ans
※分母の有理化をしました。
数学Ⅰの範囲だと、２つの解き方があります。
＜数学Ⅰの解法パターン１＞
ポイント：余弦定理を用いる方法
正弦定理より
2R = 2/sinA = AC/sin60 = AB/sin45
AC/sin60 = AB/sin45
⇔ AB/AC = sin45/sin60
⇔ AB : AC = sin45 : sin60
⇔ AB : AC = √2/2 : √3/2
⇔ AB : AC = √2 : √3
AB = √2t、AC = √3t と置くと
余弦定理より
AC2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosB
(√3t)2 = (√2t)2 + 22 - 2・(√2t)・2・cos60
⇔ 3t2 = 2t2 + 4 - 2√2t
⇔ t2 + 2√2t - 4 = 0
⇔ t = -√2 ± √(2 - (-4)) = -√2 ± √6 （係数が偶数の時の、２次方程式の解の公式より）
0 ＜ t より t = -√2 + √6 = √6 - √2
===== ２次方程式の解の公式（１次の係数が偶数の場合） =====
ax2 + 2bx + c = 0
⇔ x = {-b ± √(b2 - ac)}/a
正弦定理より
2R = AC/sin60 ⇔ 2R = √3・(√6 - √2)/(√3/2) = 2(√6 - √2)
R = √6 - √2 ... Ans
＜数学Ⅰの解法パターン２＞
ポイント：補助線（AD）
点A から辺BCへ垂線Dを引くと
∠BAD = 30、∠CAD = 45
AD = h とおくと
BD : AD = 1 : √3 ⇔ BD : h = 1 : √3 ⇔ BD = h/√3 = √3h/3
CD : AD = 1 : 1 より CD = h
BD + CD = 2 より
√3h/3 + h = 2
⇔ (√3/3 + 1)h = 2
⇔ h = 2/(√3/3 + 1) = 6/(√3 + 3) = 6(3 - √3)/(9 - 3) = 3 - √3
AD : AC = h : √2h より
AC = √2h = √2(3 - √3) = 3√2 - √6
正弦定理より
2R = AC/sinB = AC/sin60 = (3√2 - √6)/(√3/2) = 2(3√2 - √6)/√3
R = (3√2 - √6)/√3 = (3√6 - 3√2)/3 = √6 - √2 ... Ans
＜まとめ＞
数学Ⅱの範囲の加法定理より解くと分かりやすい。
数学Ⅰの範囲で解くと、「余弦定理」と「補助線」よりやや技巧的に解けることが分かりました。
大学受験の理系の方は、数学Ⅱの範囲で解けるので、数学Ⅰの範囲で解く必要はないです。
大学受験の文系の方ならば、数学Ⅰの範囲で解く方法を知らないと困る問題です。
よって、学習する範囲によって、解き方が異なる問題です。
＜ちょっと解説＞
数学が得意で、ごく一部の方ならば、ひらめいて解ける問題です。（20人に1人ぐらいだろうか）
この問題は、問題集の類題を解いてから、本番に向かわないと解けない問題です。
問題を見て、どんな問題でもひらめいて解けるのが理想的ですが、類題を解いて問題パターンを理解する学習が求められる。
＜問題＞
三角形ABCにおいて、BC=2、∠B=60、∠C=45 の時、外接円の半径を求めよ。 （範囲は数学Ⅰ・Aのみ）
※角度のX°の「°」は省略します。
＜疑問＞
∠A = 180-(60+45) = 75
∠A = 75 なので、これは数学Ⅰの範囲で解けるのか？
結論を言えば、やや技巧的だが、数学Ⅰの範囲で解けます。
しかし、数学Ⅱの範囲で解いた方が分かりやすいです。
===== 公式の確認 =====
（数学Ⅰ）
正弦定理 2R = a/sinA = b/sinB = c/sinC
余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc・cosA
（数学Ⅱ）
加法定理 sin(A + B) = sinA・cosB + cosA・sinB
※覚え方：「咲いたコスモス、コスモス咲いた」と覚える
＜数学Ⅱの解法＞
sin75
= sin(30 + 45) = sin30・cos45 + cos30・sin45 （加法定理より）
= (√3/2)・(√2/2) + (1/2)・(√2/2)
= (√6 + √2)/4
正弦定理より
2R = 2/sin75 = 2/{(√6 + √2)/4} = 8/(√6 + √2)
R = 4/(√6 + √2) = 4(√6 - √2)/(6 - 2) = √6 - √2 ...Ans
※分母の有理化をしました。
数学Ⅰの範囲だと、２つの解き方があります。
＜数学Ⅰの解法パターン１＞
ポイント：余弦定理を用いる方法
正弦定理より
2R = 2/sinA = AC/sin60 = AB/sin45
AC/sin60 = AB/sin45
⇔ AB/AC = sin45/sin60
⇔ AB : AC = sin45 : sin60
⇔ AB : AC = √2/2 : √3/2
⇔ AB : AC = √2 : √3
AB = √2t、AC = √3t と置くと
余弦定理より
AC2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosB
(√3t)2 = (√2t)2 + 22 - 2・(√2t)・2・cos60
⇔ 3t2 = 2t2 + 4 - 2√2t
⇔ t2 + 2√2t - 4 = 0
⇔ t = -√2 ± √(2 - (-4)) = -√2 ± √6 （係数が偶数の時の、２次方程式の解の公式より）
0 ＜ t より t = -√2 + √6 = √6 - √2
===== ２次方程式の解の公式（１次の係数が偶数の場合） =====
ax2 + 2bx + c = 0
⇔ x = {-b ± √(b2 - ac)}/a
正弦定理より
2R = AC/sin60 ⇔ 2R = √3・(√6 - √2)/(√3/2) = 2(√6 - √2)
R = √6 - √2 ... Ans
＜数学Ⅰの解法パターン２＞
ポイント：補助線（AD）
点A から辺BCへ垂線Dを引くと
∠BAD = 30、∠CAD = 45
AD = h とおくと
BD : AD = 1 : √3 ⇔ BD : h = 1 : √3 ⇔ BD = h/√3 = √3h/3
CD : AD = 1 : 1 より CD = h
BD + CD = 2 より
√3h/3 + h = 2
⇔ (√3/3 + 1)h = 2
⇔ h = 2/(√3/3 + 1) = 6/(√3 + 3) = 6(3 - √3)/(9 - 3) = 3 - √3
AD : AC = h : √2h より
AC = √2h = √2(3 - √3) = 3√2 - √6
正弦定理より
2R = AC/sinB = AC/sin60 = (3√2 - √6)/(√3/2) = 2(3√2 - √6)/√3
R = (3√2 - √6)/√3 = (3√6 - 3√2)/3 = √6 - √2 ... Ans
＜まとめ＞
数学Ⅱの範囲の加法定理より解くと分かりやすい。
数学Ⅰの範囲で解くと、「余弦定理」と「補助線」よりやや技巧的に解けることが分かりました。
大学受験の理系の方は、数学Ⅱの範囲で解けるので、数学Ⅰの範囲で解く必要はないです。
大学受験の文系の方ならば、数学Ⅰの範囲で解く方法を知らないと困る問題です。
よって、学習する範囲によって、解き方が異なる問題です。
＜ちょっと解説＞
数学が得意で、ごく一部の方ならば、ひらめいて解ける問題です。（20人に1人ぐらいだろうか）
この問題は、問題集の類題を解いてから、本番に向かわないと解けない問題です。
問題を見て、どんな問題でもひらめいて解けるのが理想的ですが、類題を解いて問題パターンを理解する学習が求められる。