要素の個数vs濃度

前回「対等な集合」において、対応という概念と集合の要素の個数について触れました。今回は、無限に足を踏み入れます。

今までは有限集合(要素の個数が有限個である集合)の話しかしてきませんでした。ここからは、無限集合(要素の個数が無限個である集合)について話をしていきましょう。

数学I・Ａにおいて、集合Aの要素の個数をn(A)と書く、という約束がありました。これに従えば、n(男性)=4となるわけです。

ここで、Bを無限集合とすると、n(B)=∞となります。これはBがどんな無限集合のときでも言えることです。

有限集合については要素の個数が等しければ対等、すなわちn(A)=n(B)ならばA～Bが言えます。しかし無限集合については、要素の個数が等しくても対等にならない場合があります。

そこで、無限集合にも対応できるように、この要素の個数という概念の拡張にあたる濃度という概念を定義します。

n(A)を使うときは、有限集合しか扱っていなかったので"数える"という操作でn(A)を決めました。しかし、濃度を決める場合は、対等の関係を使うことにします。

 

まず始めに、集合Aの濃度を"card(A)"という記号で表します。

確認ですが、Aが有限集合で、要素の個数がn個であれば、card(A)=n(A)=nとなります。大切なのは無限集合を扱うときです。

いくつか記号を用意しておきます。

自然数全体の集合

整数全体の集合

濃度の基準となるものとして、自然数全体の集合の濃度を(アレフ・ゼロと読みます)、実数全体の集合の濃度を(アレフと読みます)と定めます。

AとBが対等ならば、Aの濃度とBの濃度は等しい、と定めます。すなわち、と定義するわけです。

 

それでは、いくつかの無限集合の濃度を考えていきます。

まず始めに、整数全体の集合自然数全体の集合ですが、先に結論を言ってしまうと、となります。すなわち、整数全体の集合と自然数全体の集合は対等なんです!!

こう言われて、正直どのように思いますか？一般的な感覚だと「いやいや、整数のほうがプラスマイナスあるんだから自然数より多いじゃん!!」ってなると思います。しかし、どちらも無限個なので、多いとか少ないとかいう感覚では比べられないのです。なので、濃度という「どれほど密集しているか」という概念を考える必要があるのです。

とが対等になる理由は、以下の通りです。

下の数直線は整数全体を表しています。それに対して、上の青い丸が自然数を表しています。

図のように自然数と整数を対応させる作業を続けていけば、この矢印が表す写像は全単射になるので、確かにとが対等になることがわかります。

これと同様にすれば、偶数全体、奇数全体、3の倍数全体や5の倍数全体の集合は、全て濃度が自然数全体の濃度であるに等しいことがわかります。

 

それでは次に、座標平面上の格子点全体であるについて考えていきましょう。

格子点とは、xy平面においてx座標もy座標も整数であるような点の集まりです。

すなわち、上の画像の破線の交点になります。

さて、の濃度はどのようになるでしょうか？の濃度がだったので、の濃度はの2倍や2乗になるのでしょうか？

実は、そんな予想や推測も虚しく、の濃度もに等しいのです。すなわち、とは対等になるのです。

その理由は、以下のようなナンバリングにあります。

このようにすれば、とが対等になることに納得できるはずです。

これと同様にすれば、有理数全体の集合の濃度もであることが結論付けられます。

 

ここまでくると、無限集合は全てに対等で、濃度が全てなんじゃないかと考えると思います。しかし、じつはこのは無限の濃度の中では1番小さいもので、これより大きい濃度が他にも沢山あります。

次回は、より大きい濃度について、そして以前チラッと出てきた連続体仮説について触れていこうと思います。