「無限と選択公理」において、公理という言葉を使いました。
今回は、この【公理】という、あまり聞きなれない言葉について触れたいと思います。
【公理】とは、簡単に言えば「数学を議論するうえでの最初で最後の約束事」です。
数学の議論をする上で、証明なしに扱える唯一の存在が公理です。
証明しなくてもいい理由は、公理が証明するまでも無く明らかなことであるからです。
ユークリッド原論から、具体例を出しましょう。
公理1．同じものと等しいものは互いに等しい(a=a)
公理2．同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい(a=b なら a+c=b+c)
公理3．同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい(a=b なら a-c=b-c)
公理4．互いに重なり合うものは、互いに等しい
公理5．全体は、部分より大きい
これをみるとわかるように、どれも当たり前のことを言っています。
ユークリッド原論は、この公理にさらに公準というものを加えてから議論がスタートしますが、それについては後ほど。
議論を始めるにも、最初に「議論に使用できるもの」がなければ何も示せません。【公理】はよって公理を「証明しないで使ってよいもの」として、それらを使って議論を始めるわけです。
ギャンブルや投資をする際、いくらお金を増やす技術を持っていても最初に使える「軍資金」がなければ意味がありません。公理は数学における「軍資金」だと思っていただければいいと思います。
公理の説明が終わったところで、【定義】と【定理】の説明に移ります。
この2つは聞きなれていると思いますが、実際上手く使い分けられない人が結構います。
【定義】とは、ある式や概念に「名前をつける」ことだと思ってください。
例えば、「三辺の長さが等しい三角形を正三角形と定義する。」といわれたら、「三辺の長さが等しい三角形」に「正三角形」という名前をつけたことになります。
【公理】と【定義】の違いは、【定義】は新しいことを示しているわけではないという点です。【定義】に出来ることは、「形に名前を与えること」か「名前に形を与えること」だけです。新しいことを理論を作っていいわけではありません。
例えば、角Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、
次に【定理】にはいります。
【定理】とは、「証明された真なる命題」です。
ここで、証明という言葉を明確にしておきますが、「ある命題を証明したいときに使っていいものは、公理と定理だけ」です。
そして証明された命題は、無事【定理】という肩書きにランクアップするわけです。
具体例を書きます。
まず始めに、1つも証明していない状態、すなわち定理が1つも無い状態から議論します。
手始めに「【命題】a=b なら 2a=2b」を証明してみましょう。
証明に使えるのは公理と定理だけですが、今はまだ定理がないので、公理だけからスタートします。
証明は公理2.において、c=a=b とすればよいですね。
これで「【定理】a=b なら 2a=2b」が出来ました。これからはこの定理はフルに活用してもらって構わないわけです。
世の中に【定理】と呼ばれるものは沢山存在します。
どんな定理でも、証明するために何か別の定理Aを使っていて、その定理Aを証明するために定理Bと定理Cを使っていて…と続きます。
しかしこれは永遠に続くわけではなく、どこかで「定理Xは公理Aと公理Bを使って証明されている。」という風に、公理で終点を迎えます。
どの定理でも、ずーと元をたどれば、そこには公理しか存在しません。
「全ての道はローマに通ず」という言葉がありますが、数学的に言えば「全ての定理は公理に通ず」って感じでしょう。
我々人類の祖先がアダムとイブであるように、全ての定理の根幹には公理しか存在しません。
さて、【公理】と【定義】と【定理】の違いがわかったところで、1つ問題を出しておきます。
問：以下の定義と公理を定める。
定義1．点は部分のないものである。
定義2．線は幅のない長さである。
公理1．任意の点から任意の点へ直線を引ける。
公理2．有限直線を連続して一直線(無限に伸びる線)に延長できる。
公理3．全ての直角は等しい。
(上の定義と公理は、無視しても構いません)
定義：一直線Lと一直線Mが平行であるとは、LとMが共に、ある1つの線Nとのなす角が直角(すなわちLとNが垂直で、かつMとNも垂直)であることと定義する。
このとき「任意の異なる2本の平行な直線は交わる」の真偽を答えよ。
よく言っている意味がわからない人は、最後の文だけみて考えてみてください。
答えと解説は次回行います！
