曖昧なるかな

こんばんは。


今日は数学の話題です。

先ずは、この記事をご覧ください。
http://originalnews.nico/148297


要約すると、「“π＝４”を証明したが、もちろん間違っている。何処が間違っているだろう？」です。

この問題、πを持ち出しているので、いかにも面白いのですが、ほぼ同様の形で、√2 = 2 が証明出来る事に気付けますでしょうか？
これは、2点間の距離をどうやって定義するのか、という事を利用したトリックです。

一般に、我々が距離だと考えているのは、ユークリッド距離と呼ばれるものです。
対して、先の問題では、πにはユークリッド距離の定義を使っていますが、４にはマンハッタン距離の定義を使っています。
定義が異なる値を求めているのだから、同じ“距離”でも、値が異なってくるのは当たり前ですね。

ちなみに、ユークリッド距離とマンハッタン距離ですが、
地図的に言えば、建物だろうが河だろうが突っ切って直線的に行くのが、ユークリッド距離であり、
道に沿って、ただし回り道はしないで行くのが、マンハッタン距離になります。
※ イメージであって、厳密さを欠いた表現ですが。

完全に碁盤の目になっている都市に於いて、ある地点からある地点に、回り道をしないで行くとすると、
どのルートを取っても、同じだけ歩かないと到達しませんよね。
これがマンハッタン距離になります。


ところで、先ほどの記事で紹介されていた動画。
端っこを織り込んでいく行為の極限を取ると円弧になる、とさらっと書いています。
ここに噛み付いているコメントがいらっしゃいますけど、これは間違っていません。

ただ、0.999... = 1 である事が理解出来ないと、円弧になる理由も分からないでしょう。


0.999... は、厳密に（僅かの差もなく） 1 に等しいです。
ほんのちょびっとだけ小さい、なんて事はありません。

それはつまり、
　0.999... ≠ 0.999...999
だからです。

最後の 9 を見てしまっているから、ちょっとだけ小さいような気がしてしまっているだけで、
最後の 9 なんてものは無いのだから、厳密に 1 に等しいのです。
※ 絶対値として何よりも大きくない数とは 0 だからです。



極限とか、無限が出てくると、日常の感覚とは少しずれた世界が見えてくる。
これが数学の面白いところです。

昔の数学者も、これで大変苦労しました。
限りなく大きいから無限大、なんていう文字表現だけの漠然とした、曖昧な数学では、結論が滅茶苦茶になってしまったからです。

皆さんも、無限や極限に興味を覚えたら、ちょっと数学関係の読み物（≠教科書）でも漁ってみては如何でしょう。


以上。