フェルマーの最終定理の概要を簡単に説明したい その2

今度はモジュラー形式について。

谷山・志村予想で
「すべての有理数係数の楕円曲線はモジュラーである」
とモジュラーという言葉が出てきているけど、今はうまく説明できない。
ので毎度ながらメモを。

Wikipediaには
「ある種の函数等式と増加条件を満足する上半平面上の複素解析的函数である」と。
これはよくわからない。

本によると、楕円曲線がモジュラーであるということは
「すべての有理数係数の楕円曲線から導き出せるある関数が、モジュラー形式の関数と同じ」
という意味と思っていいらしい。
ここで楕円曲線から導き出せる関数とは、楕円曲線のL関数であり
L関数とは、ディレクリがζ関数を一般化したもので
L(χ, s) = Σ[n=1, ∞]χ(s)n^-s
と表される。

また、モジュラー形式は複素平面の上半面をフィールドとしており、
4次元空間に存在し、非常に多くの対称性を持つことが特徴である。
（変換させても元の形を保つ）

モジュラー形式を発見したポアンカレは、そのあまりに高い対称性が信じられず
14日四六時中考え続け15日目に納得したそうな。はぁ～。

ちょっと具体的な内容まではつっこめなかったけど
そのうちつっこめたらつっこんでみたい。