f(x) = x^(x^(x^(x^・・・・・・)))が収束する上限とか

高校生のとき世にも美味しい数学という本で読んだ、

f(x) = x^(x^(x^(x^・・・・・・)))

という冪の塔（この呼び方が正しいかは不明）が
収束する上限求めてるのをふと思い出したのでちょっと覚えてるかどうかおさらい。

まず驚いたのは、
f(1.4)は収束するのにf(1.5)は発散すること。
f(√2) = 2になることをグラフを用いて証明してたのは美しかった。

今回は x >= 1の範囲で、f(x)が収束する上限を求めてみる。

f(a)が収束するとき、y = x と y = a^x は交点を持つ。
（理由は省略。グラフを用いて説明可。）
f(a)が収束する上限は、y = x と y = a^x が接するときである。

すなわち、x = a^x が重解を持てばよい。
対数をとって、

log(x) = x*log(a)
⇔ log(a) = log(x) / x

ここで右辺のグラフを描き、log(a)との交点の個数を調べれば良い。

g(x) = log(x) / x とすると、
g'(x) = (1 - log(x)) / x^2

x = e のとき、g'(x) = 0 となり
g(x) は極大値 1/e をとる。

log(a) = 1/e のとき、交点は一つとなり
このときの a、すなわち

a = e^(1/e)

が、f(x)を収束させる最大のxとなる。
ちなみに、

f(e^(1/e)) = e

となる。美しい。
ちなみに、e^(1 / e) = 1.445 であり、確かに1.4と1.5の間にあることがわかる。

0 <x < 1 の範囲では、収束することもあれば振動したりもするようでよくわからない。

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