コンプトン効果を頑張って導いてみる

頑張るほどじゃないかもしれないけど、
コンプトン効果を表す次の式を導出してみる。

⊿λ = λ' - λ = (h/mc)*(1-cosφ)
　　λ'：二次X線波長
　　λ：入射X線波長
　 　h：プランク定数
　 　m：電子の質量
　 　c：高速
　　φ：散乱角

まず、光（粒子）と電子との衝突を考えたとき
エネルギー保存則と運動量保存則を適用することができる。

運動量保存則を考えたとき、光の静止質量はゼロなので
光の運動量を古典的に定義するのは難しい。

そこで、アインシュタインの特殊相対性理論を用い
静止質量がゼロの粒子（光）の運動量を推測する。

特殊相対性理論では、粒子エネルギーEと運動量pは

E^2 = c^2*p^2 + m0^2*c^4
p = m0*v/√{1 - (v/c)^2)}
　　m0：静止質量
　　 v：速度

と表され、静止質量がゼロである粒子の運動量は

p = E/c = hν/c

と仮定できる。
一方で、電子のエネルギーEは

E = √(p^2*c^2 + m^2*c^4)

である。（今回ディラック方程式は考えない）
以上により、

エネルギー保存則
　　hν + mc^2 = hν' + √(p^2*c^2 + m^2*c^4)・・・①

運動量保存則
　　x方向　：　hν/c = (hν'/c)*cosφ + p*cosθ・・・②
　　y方向　：　0 = (hν'/c)*sinφ - psinθ・・・③

が成立する。（θ：電子の散乱角）
さて、ここからひたすら計算。
スマートなやり方はあるだろうけど、とりあえずごり押しで。

①を変形して二乗
　　(hν + mc^2 + hν')^2 = p^2*c^2 + m^2*c^4・・・④

②^2 + ③^2より、
　　p(sin^2θ + cos^2θ) = {hν/c - (hν'/c)*cosφ}^2 + {(hν'/c)sinφ}^2
⇔　p = (hν/c)^2 - 2*(h/c)^2*νν'cosφ + (hν'/c)^2・・・⑤

⑤を④に代入して、
　　(hν + mc^2 + hν')^2 = (hν)^2 - 2h^2νν'cosφ + (hν')^2 + m^2*c^4
　⇔2νmc^2 - 2hνν' - 2mc^2*ν' = -2hνν'cosφ
　⇔mc^2(ν-ν') = hνν'(1 - cosφ)

ここで、ν = c/λより

　⇔mc^2(c/λ - c/λ') = h*(c/λ)*(c/λ')*(1 - cosφ)
　⇔mc^3{(λ' - λ)/(λλ')} = {hc^2/(λλ')}*(1 - cosφ)
　⇔λ' - λ = (h/mc)*(1 - cosφ)

以上によりコンプトン効果を表す、
入射光と散乱光の波長の間にある関係式（題意）が示された。疲れた。