ソフトウェア開発したい日記

「面白い!」と思った頭の体操や、数学の問題を載せていきます
その他ロードバイクででかけた先の写真や、ソフト開発のメモ等

広告

※このエリアは、60日間投稿が無い場合に表示されます。記事を投稿すると、表示されなくなります。

コンプトン効果を頑張って導いてみる

2010年05月24日 20時06分27秒 | 科学
頑張るほどじゃないかもしれないけど、
コンプトン効果を表す次の式を導出してみる。

⊿λ = λ' - λ = (h/mc)*(1-cosφ)

  λ':二次X線波長
  λ:入射X線波長
   h:プランク定数
   m:電子の質量
   c:高速
  φ:散乱角

まず、光(粒子)と電子との衝突を考えたとき
エネルギー保存則と運動量保存則を適用することができる。

運動量保存則を考えたとき、光の静止質量はゼロなので
光の運動量を古典的に定義するのは難しい。

そこで、アインシュタインの特殊相対性理論を用い
静止質量がゼロの粒子(光)の運動量を推測する。

特殊相対性理論では、粒子エネルギーEと運動量pは

E^2 = c^2*p^2 + m0^2*c^4
p = m0*v/√{1 - (v/c)^2)}
  m0:静止質量
   v:速度

と表され、静止質量がゼロである粒子の運動量は

p = E/c = hν/c

と仮定できる。
一方で、電子のエネルギーEは

E = √(p^2*c^2 + m^2*c^4)

である。(今回ディラック方程式は考えない)
以上により、

エネルギー保存則
  hν + mc^2 = hν' + √(p^2*c^2 + m^2*c^4)・・・①

運動量保存則
  x方向 : hν/c = (hν'/c)*cosφ + p*cosθ・・・②
  y方向 : 0 = (hν'/c)*sinφ - psinθ・・・③

が成立する。(θ:電子の散乱角)
さて、ここからひたすら計算。
スマートなやり方はあるだろうけど、とりあえずごり押しで。

①を変形して二乗
  (hν + mc^2 + hν')^2 = p^2*c^2 + m^2*c^4・・・④

②^2 + ③^2より、
  p(sin^2θ + cos^2θ) = {hν/c - (hν'/c)*cosφ}^2 + {(hν'/c)sinφ}^2
⇔ p = (hν/c)^2 - 2*(h/c)^2*νν'cosφ + (hν'/c)^2・・・⑤

⑤を④に代入して、
  (hν + mc^2 + hν')^2 = (hν)^2 - 2h^2νν'cosφ + (hν')^2 + m^2*c^4
 ⇔2νmc^2 - 2hνν' - 2mc^2*ν' = -2hνν'cosφ
 ⇔mc^2(ν-ν') = hνν'(1 - cosφ)

ここで、ν = c/λより

 ⇔mc^2(c/λ - c/λ') = h*(c/λ)*(c/λ')*(1 - cosφ)
 ⇔mc^3{(λ' - λ)/(λλ')} = {hc^2/(λλ')}*(1 - cosφ)
 ⇔λ' - λ = (h/mc)*(1 - cosφ)

以上によりコンプトン効果を表す、
入射光と散乱光の波長の間にある関係式(題意)が示された。疲れた。
ジャンル:
科学
コメント (2)   この記事についてブログを書く
« 線形代数の応用としての量子力学 | トップ | T大のクリアファイルにあるバ... »
最近の画像もっと見る

2 コメント

コメント日が  古い順  |   新しい順
Unknown (Unknown)
2012-10-16 22:18:32
①から④への変形でhv'を左辺に移項する際に符号がマイナスになるはずじゃ?
Unknown (あつた)
2013-08-08 22:00:33
仰るとおりですね。
ただ、その後の計算では符号は正しくなっているみたいです(多分)。

ものすごく懐かしかったのでまた計算してみました。
http://kano.arkoak.com/?p=26

コメントを投稿

科学」カテゴリの最新記事

関連するみんなの記事