「リサージュ外積」なるもの

 

　リサージュ図形はみなさまご存じと思いますが、「リサージュ外積」とは何でしょうか？

これは、私が勝手に命名した演算です。。。。もともとは、 k段の遅延器の両端の位相差を測ろうとして「リサージュ図形」をとってみたら・・・という発想から生まれたものです。

　k段の遅延を仮定するリサージュ外積　Ls _k(Xn) は下記のように定義されます。Ls_k という一般形式は面倒なので、Ls1, Ls3　を示しますと、　

  Ls1(Xn) = X[n]*X[n] - X[n-1]*X[n+1] 

  Ls3(Xn) = X[n-1]*X[n+1] - X[n-2]*X[n+2]   と、きれいな形をしています。　時系列データXnの自乗に相当する次元をもっており、感覚的にはエネルギーだと思ってください。

 

Xn = A* sin (Ωn - φ）　「ただし、A:振幅, Ω：相対角周波数= ω/fs,　φ：位相角」とすると、

Ls1 = A^2 * sin(Ω) * sin(Ω）

Ls3 = A^2 * sin(Ω) *sin(3Ω) 　　　という奇妙な形に変換できます。

　ｎ（つまり時間）によらず、「周波数」と「振幅」のみの関数になるのです。ここがポイントで。 r = Ls3 / Ls1 を計算すると、　r は周波数Ωのみの関数となるわけで、この原理をSynchro PRIMO法は利用しています。

　もう一つの特徴は、　A = A0 * exp( -t/T ) のような形でも、上記のLs3/Ls1 は定数になってしまいます。

「リサージュ外積」なるもの、振幅の自乗と　 sin^2(Ω) の積になっています。　元々のリサージュ図での挙動にもどって考えてみると、　リサージュ図形の隣接点Pn-1, Pnと原点がつくる微小な三角形の面積でもあるのです。

　悩みの種は「非線形演算」であること。２成分(Xn = U[n] + W[n] )でやろうろすると、「クロス項」 :

C = U[n]W[n] - U[n-1]*W[n+1] などが登場してしまい、ここが難しく足止めをくらっているところです。。。