東大文系数学１９９６年第２問

a,b,c,dを正の数とする。不等式（１）s(1-a)-tb>0,（２）-sc+t(1-d)>0を同時に満たす正の数s,tがあるとき、２次方程式x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0（３）は、-1<x<1の範囲に異なる２つの実数解を持つことを示せ。（私の解法）まず、この問題を見て何を考えますか？（３）の式のような２次方程式は、普通２つの解を持ちます。中学数学で習った通りです。この解xが、-1<x<1であることを示せばよいことになります。不等式（１）（２）を見てみましょう。これから何が言えるでしょうか？中学校の数学で覚えなければならない公式は、２次方程式の解法だけですが、２次方程式at^2+bt+c=0の解法はt=-b+-√(b^2-4ac)/2a（Ａ）です。このtが-1<t<1となることを証明するためには、定数のa,b,cを調べてみればいいことが分かります。まず、（１）の式を調べてみましょう。調べたいのは（３）の式のa,b,c,dですから、まず、aの値を調べてみましょう。（１）の式より、(1-a)>tb/sとなります。t,b,sは正の数なのですから、1-a>0であることが分かります（Ｂ）。同様に（２）の式から1-d>0であることが分かります（Ｃ）。問題文に「正の数s,tがあるとき」とあるので、今度は、sとtについて調べてみましょう。（１）の式より、t/s<(1-a)/b（１’）、（２）の式より、t/s>c/(1-d)（２’）。（１’）（２’）より、c/(1-d)<(1-a)/b（Ｄ）。（Ｃ）よりad-bc-(a+d)+1>0（Ｅ）。それでは、問題文の（３）の式を調べてみましょう。（３）の式をf(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)（Ｅ）と置いて、２次方程式の解法（Ａ）の√(b^2-4ac)のルートの中を調べてみましょう。ルートの中をＤとすると、（Ａ）（Ｅ）より、D=(a+b)^2-4(ad-bc)=(a+b)^2-4ad+4bc=(a-d)^2+4bc>0（Ｆ）。したがって、f(x)は異なる２つの実数解を持つことが分かります（Ｇ）。後は、問題文の（３）の式の解が-1<x<1の範囲にあることを示せばよいことになります。では、（Ｅ）式でx=1と置いてみましょう。すると、f(1)=1-(a+d)+(ad-bc)となりますが、（Ｅ）によりこのf(1)の値は正であることが分かります。f(1)>0（Ｈ）。同様式を展開すると、f(-1)>0（Ｉ）。これを図にしてみましょう。ここでは図は書きませんが、２次方程式の放物線の図を書いてみてください。f(1)>0かつf(-1)>0となる放物線の図を書いてみてください。（３）の式のx^2の定数は正なので、じょうご型（頂点が下となる）グラフの形になります・グラフの頂点はどうなっているでしょう？（Ｂ）（Ｃ）により0<a+d<2なので、グラフの頂点(a+d)/2は、0<(a+d)/2<1（Ｇ）。頂点が下となり、頂点が0<(a+d)/2<1となるようなグラフを描いて見ましょう。（Ｇ）よりf(x)=0は２つの実数解を持つことが証明されているのですから、放物線の図により、f(x)=0は-x<0<xに異なる２つの実数解を持つことが示せます。