（問題）f(x)=2x^2-4ax+a+1(aは定数）（Ａ）とする。0≦x≦4においてつねにf(x)>0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。（秋田大）（私の解法）f(x)は二次関数なので、放物線となりますが、このような問題の場合は、図のように場合分けをして考えます。ここでは基礎から復習するために、放物線の頂点をおさらいしておきましょう。一般に二次方程式f(x)=ax^2+bx+c（Ｂ）の頂点を求めてみましょう。放物線の頂点は、（Ｂ）を微分して、放物線との接線を求めるのでしたね。（Ｂ）よりf'(x)=2ax+b。これが横になるとき、2ax+b=0。ゆえに、x=-b/2aが（Ｂ）の頂点です。このやり方で（Ａ）の頂点を求めてみましょう。頂点はx=4a/(2*2)=a。つまりx=aのとき（Ａ）のグラフが頂点になることになります。では、図の通り、（１）a<0、（２）0≦a≦4、（３）4<aで場合分けしてみましょう。（１）a<0のとき。グラフの右に行くほどf(x)の値は大きくなるので、0≦x≦4のときx=0のときf(x)の値は最小となる。f(0)=a+1。つねにf(x)>0となるためには、a+1>0でなければなりません。したがって、-1<a<1。（Ｃ）（２）0≦a≦4のとき、0≦x≦4におけるf(x)の最小値は、f(x)の頂点である。（Ｂ）により、f(x)の頂点は、x=aをf(x)に代入した2a^2-4a^2+a+1=-2a^2+a+1で、つねにf(x)>0となる条件は、-2a^2+a+1>0。これを因数分解で求めてみましょう。a^2-1/2a-1/2<0。かけて-1/2、足して-1/2となる２つの数は、1と-1/2です。したがって、(a+1)(a-1/2)<0。ゆえに、-1/2<a<1。0≦a≦4と合わせて、0≦a＜1（Ｄ）。（３）4<aのとき、グラフが左に行くほどf(x)の値は大きくなるので、最小値はf(4)=-15a+33。-15a+33>0よりa<11/5。しかし、これは4<aを満たしていないので、ここではかんがえなくてよい。（Ｅ）。（Ｃ）（Ｄ）（Ｅ）をまとめると、-1<a<1。
