京都大学「tan(1°) は有理数か？」

　本日の数理パズルは，京都大学の入試問題から．

　稀に見る問題文の短さから，受験業界では非常に有名な過去問なのだそうです．

 

【問題】 tan(1°) は有理数か？

 

　シンプルですが面白い問題ですよね．僕の解答案は次の通りです：

※今のところ，この動画のシリーズを視聴してくださる方のおよそ半数が英語話者なので，スライドのみ英語にて作成してみています．字幕（日本語・英語）を利用できます．動画内で用いた記法やロジックについて，必要あれば注1，2を参照ください．

 

　動画内では，【タンジェントの加法定理】を用いて，【背理法】によって示しました．

　タンジェントの加法定理は，次式で表されます：

※先日証明したので，別の記事にて簡単に紹介したい所存です．

 

　また類題として「cos(1°)，sin(1°) は有理数か？」が素朴に思いつきます．

　cos と sin，tan の間には

sin(1°) = tan(1°) cos(1°)

という関係があるので，cos(1°) または sin(1°) のいずれかが無理数であることを示せれば，（背理法によって）他方も無理数であることがただちに示せます．またsec(1°), csc(1°), cot(1°) が無理数であることもただちに従います．

 

　みなさんは cos(1°)，sin(1°)，tan(1°) の無理数性をどのように証明されますか？

 

注1．動画内で用いた記法について
(1) 有理数全体の集合をQという記号で表しています．
(2) 「a ∈ S」というのは「要素 a は集合 S に属す」ことを表す記法です．
     たとえば「tan(1°) ∈ Qと仮定する」と書かれていれば，「tan(1°) は有理数であると仮定する」という意味です．
(3) 「a ∉ S」というのは「要素 a は集合 S に属さない」ことを表す記法です．
     たとえば「tan(1°) ∉ Q」と書かれていれば「tan(1°) は有理数でない」，つまり「tan(1°) は無理数である」という意味です．

注2．証明のロジックについて
(4) 【有理数】とは，a, b という2つの整数（..., -2, -1, 0, 1, 2, ...という数）を使って比 a/b で表すことができる数のことです（ただし b ≠ 0 とする）．
(5) 2つの有理数 r と s について，和 r + s，差 r - s，積 rs，商 r/s（ただし s ≠ 0）のいずれもまた有理数となります．
(6) 「tan(1°) が有理数である」と仮定するとき，tan(1°) + tan(1°) は有理数どうしの和なので有理数です．
     また 1 - tan(1°)tan(1°) は有理数から有理数どうしの積を引いたものなので，やはり有理数ということになります．
(7) 【タンジェントの加法定理】より，tan(2°) というのは tan(1°) + tan(1°) を 1 - tan(1°)tan(1°) で割ったものです．つまり，仮定の下では有理数どうしの商で表されるので，「tan(2°) もまた有理数」ということになります．3°以降についても同様の議論を繰り返します．

 

【出典】

京都大学．(2006)．後期入試試験，第6問．

 

数学ランキング