前回の問題の再掲です。香川県教員採用試験より。 1辺1cmの正方形を1段目に1個、2段目に3個、3段目に5個、4段目に7個となるように各段に奇数個の正方形を規則的に並べる。例えば、下の図は3段目まで正方形を並べた図形で、図の太線は図形の周囲を表しており、図形の周囲の長さは16cmである。 10段目まで正方形を並べたとき、図形の周囲の長さは何cmか。次のア～エから一つ選んで、その記号を書け。
ア56cm イ58cm ウ60cm エ62cm 1段増えるごとに、周囲の長さが何cmずつ増えていくか？という見方をすれば、前回のように等差数列ということになります。ただ、見方を変えて、これは方程式（あるいは算数）の問題だと考えると、こういうことにもなります。例えば、3段目まで並べたときの周囲の長さは、
右下の図ですが、縦の長さがなぜ3cmなのかというと、3段だったからですね。当然、10段だったら10cmです。 横の長さは、1段だったら1cm、2段だったら3cm、3段だったら5cm、4段だったら7cm、5段だったら9cm、6段だったら11cm、7段だったら13cm、8段だったら15cm、9段だったら17cm、10段だったら19cmです。 よって、周囲の長さは、10＋19＋10＋19＝58cmです。 nを使って一般化すると、n段目まで並べると、縦がn（cm）で、横が2n－1（cm）なので、周囲の長さは、 n＋（2n－1）＋n＋（2n－1）＝6n－2（cm）となります。ここをポチッとお願いします。→
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4、10、16、22、28、……のように、同じ数ずつ増えていったり、同じ数ずつ減っていく数列のことを、等差数列といいます。 このとき、はじめからn番目の数は、 a＋d（n－1）となります。 aは初項といって、1番目の数。dは公差といって、上の例では6ずつ増えていってるので、d＝6です。 例えば、上の数列で、100番目の数が知りたければ、4＋6（100－1）を計算して、598です。しかしながら、この公式を忘れてしまったら、どうしたらいいのでしょうか？こうすればいいと思います。
私が長年講師の仕事をしていて、一番の悩みは、自分が解いて終わりなら楽なのですが、生徒さんが、私の解き方に満足されなかったら、つまり、気に入ってもらえなかったらどうしようか？ということです。人それぞれ好き嫌いがありますので。 もう一つ、こんなのもあります。私立中学を受験する小学生がやる方法です。
推理するったって、どうせ塾で、「この数列は、6ずつ増えていってるから、まず6倍してみよう。それから2を引けばいいね。つまり、
ですよ、ほなさいなら」などと教わるのですが。 それでは問題です。香川県教員採用試験より。 1辺1cmの正方形を1段目に1個、2段目に3個、3段目に5個、4段目に7個となるように各段に奇数個の正方形を規則的に並べる。例えば、下の図は3段目まで正方形を並べた図形で、図の太線は図形の周囲を表しており、図形の周囲の長さは16cmである。 10段目まで正方形を並べたとき、図形の周囲の長さは何cmか。次のア～エから一つ選んで、その記号を書け。
ア56cm イ58cm ウ60cm エ62cm こういうことですね。
公式派の人は、4＋6（10－1）＝58cm。 関係推理派の人は、6倍して2を引けばよいので、10×6－2＝58cm。正解は、肢イです。 えええええ～！どれもお気に召さない～？そういう人は、次回にこうご期待ですう～。ここをポチッとお願いします。→
市役所C日程より。 A～Gの7人がバスケットボールの試合に参加した。バスケットボールの試合は常に1チーム5人の選手で行われ、選手交代は何回でも可能である。この試合において次のア～カのことが分かっているとき、確実にいえるのはどれか。ア 7人は同じチームで、全員が試合に出場した。 イ 交代は全部で3回行われ、どの回でも1人だけが交代した。 ウ BとCは同時に出場することはなかった。 エ 試合の最初には、Dは出場していたが、Eは出場していなかった。 オ 試合の最後には、Cは出場していたが、Dは出場していなかった。 カ ある回の交代では、Fがベンチに下がり、代わりにCが出場した。 ①1回目の交代で、Dがベンチに下がった。 ②1回目の交代で、Cが出場した。 ③2回目の交代で、Eが出場した。 ④2回目の交代で、Bがベンチに下がった。 ⑤3回目の交代で、Fが出場した。 出場していた5人と、ベンチの2人の組み分けです。
条件エ、オ、カより、
ところで、条件のウですが、何故BとCは同時に出場しないのでしょうか？ 2人とも、バスケが下手だからに決まってます。 例えば、Bがタラちゃんで、Cがいくらちゃんのようなものです。 とすれば、いくらマスオさんが頑張っても、2人ともをカバーすることは不可能です。 えっ？何でマスオさん？などと思う人は、これを見ておくべきですねぇ！マスオさんの特技です。
さて、最後にはC（いくらちゃん）が出場していますので、タラちゃんには引っ込んでもらいまして、DとBがベンチで、他は出場です。
何回目かの交代の後ですが、Cが出場しますので、またもやB（タラちゃん）には引っ込んでもらいます。
交代は1人だけなので、何回目かの交代の前もB（タラちゃん）の出番はありません。
とすると、この交代は、1回目ではありません。（1回目の交代の前にはEがベンチにいます）また、3回目でもありません。（3回目の交代の後にはDがベンチにいます）よって、2回目でした。
おお～っと、B（タラちゃん）がまだ1度も出場しておりません。ゆえに、はじめはBが出場していて、B（タラちゃん）が出場するなら、C（いくらちゃん）はベンチでバブバブ言ってるはずです。
正解は、肢⑤です。ここをポチッとお願いします。→
前回の続きです。選択肢の③a、b、cの和の4倍にdをたした数が6の倍数の時、この整数は6の倍数である。は、どういう意味があるのか？ということでした。 おそらく、「倍数の判定方法を丸暗記しているだけではダメですよ」ということだと思います。 例えば、9の倍数の判定方法は、「各位の数の和が9の倍数である」でしたが、何故でしょう？ 千の位がa、百の位がb、十の位がc、一の位がd、つまり1000a＋100b＋10c＋dという数があったとします。 aの係数の1000は、9では割り切れません。でも、999は9で割り切れます。よって、1000aを、999a＋aと分解します。 同様に、100bを99b＋b、さらに10cを9c＋cと分解します。すると、
3の倍数の判定も、同じように証明します。選択肢の③は、これを6の倍数の判定でやってみなさい、ということです。1000aを996a＋4aに、100bを96b＋4bに、10cを6c＋4cに分解して、
まあ、2の倍数かつ3の倍数で判定する方が速いし楽ですけどねえ。では、選択肢の④は、どうだったら正しいのでしょうか？
ってことですから、「bの2倍にcを足した数の2倍とdの和が8の倍数だったらOK」というややこしいことになり、こんなのを英語に直しなさいなどと言われたら……。😩ここをポチッとお願いします。→
倍数の判定方法は、こうです。 ①2の倍数…1の位が0か2か4か6か8。 ②3の倍数…各位の数の和が3の倍数になっていればよし。 ③4の倍数…下2けたが00または4で割り切れたらよし。 ④5の倍数…1の位が0か5。 ⑤6の倍数…6＝2×3だから、2の倍数の条件も3の倍数の条件も満たしていたらよし。 ⑥8の倍数…下3けたが000または8で割り切れていればよし。 ⑦9の倍数…各位の数の和が9の倍数になっていればよし。 ⑧10の倍数…1の位が0。 ⑨11の倍数…1の位から、一つおきの位の数の和と、それ以外の位の数の和の差が、0か11の倍数になっていればよし。 7の倍数や13の倍数などもあるにはありますが、マニアックなので、実際に割って確かめる方が得策です。 さて、今日は2018年1月17日なので、20180117について調べて見ます。 ☆1の位が7だから、2の倍数ではありません。 ☆各位の数の和（2＋0＋1＋8＋0＋1＋1＋7）が20で、この20は3で割り切れないので、3の倍数ではありません。 ☆下2けたの17は、4では割り切れないので、4の倍数ではありません。（ってか、2の倍数ではなかったので、自動的に4の倍数でも6の倍数でも8の倍数でも10の倍数でもないのです） ☆1の位が7なので、5の倍数ではありません。 ☆2の倍数ではなかったので、もう6の倍数ではありません。下3けたの117は、8では割り切れないので、8の倍数ではありません。 ☆各位の数の和が20で、これは9では割り切れないので、9の倍数ではありません。 ☆1の位が7なので、10の倍数ではありません。 ☆
ということで、今日は、上記の何の倍数でもない日でした。 さて、それでは問題です。 島根県の教員採用試験より。 千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとする4けたの整数がある。この整数の性質について述べたとき、正しくないものを①～⑤のうちから一つ選べ。①a、b、c、dの和が3の倍数の時、この整数は3の倍数である。 ②10c＋dが4の倍数の時、この整数は4の倍数である。 ③a、b、cの和の4倍にdをたした数が6の倍数の時、この整数は6の倍数である。 ④b、cの和の4倍にdをたした数が8の倍数の時、この整数は8の倍数である。 ⑤a、b、c、dの和が9の倍数の時、この整数は9の倍数である。 ①、②、⑤が正しいことは、倍数の判定方法から明らかです。③と④は何を意味するのでしょうか？ ③などは、6の倍数の判定方法とは違っています。 正解を出すだけなら、いろいろ例を作ると出ます。 例えば、1014は、b、cの和の4倍にdをたすと、（0＋1）×4＋4＝8で、8の倍数になりますが、この1014は、8の倍数ではありません。 よって、正解は肢④です。 それにしても、肢③は、なぜ正しいのかが気になりますね。 次回、肢③の意味を説明したいと思います。ここをポチッとお願いします。→