マッキーの一問必答（１３）：半径×半径の数値を求めて解く問題

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　「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む２６年度の問題を取り上げ、ポイントを解説します。今回で、このシリーズは、いったん終了します。

　半径が出ていないのに、円の面積が求まるの？中学の三平方の定理が分からないのに、どうやって半径を求めるの？そんな疑問が浮かぶ問題です。こうした問題を解くポイントは、半径が出ていなければ、半径×半径の数値が出せるかどうかを考えます。この解き方は、やはり経験的に覚えることが大切です。

　このパターンの問題は、円と正方形が絡んで出題されます。正方形の面積は、一辺×一辺で求めることができますが、正方形はひし形の仲間ですから、対角線×対角線÷２でも計算することができます。このことをうまく使って、半径が出ていなくとも、半径×半径の数値を導き出して考える問題です。

【２６年度の入試問題】　（分数の表記および記号が、実際の入試問題と若干異なります。）

１．東邦大学付属東邦中学校

この年の東邦大東邦の算数の問題は、問題１が計算３題、問題２が小問３題、問題３から問題７までが小問２～３題で構成された大問の出題でした。今回の問題は、問題２の小問として出題された問題です。

【問題】
下の図のように、正方形ABCDの４つの頂点を通る円がある。また、点E、F、G、Hはそれぞれ辺AB、BC、CD、DAのまん中の点である。この円の面積が１０㎠であるとき、四角形EFGHの面積を求めなさい。ただし、円周率を３.１４とし、小数第２位を四捨五入して答えなさい。




２．江戸川女子中学校

この年の江戸川女子の算数は、問題１では計算４題を含む小問１３題、問題２から問題４まで小問３題で構成された入試問題でした。今回の問題は、問題１の小問として出題された問題です。

【問題】
下の図のように、１辺の長さが１０ｃｍの正方形と４分の１円があります。円周率を３.１４とすると、車線部分の面積の合計は□㎠です。



３．ラ・サール中学校

ラサールのこの年の算数は、問題１が計算３題、問題２が小問４題、問題３から問題６までが小問２～３題で構成された大問でした。今回取り上げた問題は、問題２の小問の一つとして出題された問題です。

【問題】
対角線の長さが１０ｃｍの正方形Aがあります。その一辺を半径とするおうぎ形Bと、対角線を半径とするおうぎ形Cを右の図のように作ります。
（ア）2つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。
（イ）2つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。円周率は３.１４とします。




【解答と理解しておくべきポイント】

１．東邦大学付属東邦中学校

小さい時から、折り紙をしている方はすぐに分かるでしょう。正方形ABCDの面積が出れば、その半分が正方形EFGHの面積となります。

円の面積は出ていますが、円の半径は出ていません。正方形ABCDの一辺の長さも出ていません。そこで、この正方形の面積を、対角線×対角線÷２＝直径BD×直径AC÷２ということに注目して求めることを考えます。

直径＝半径×２ですので、正方形ABCDの面積＝直径BD×直径AC÷２
＝半径×２×半径×２÷２＝半径×半径×２と変形することができます。

円の面積＝半径×半径×３.１４＝１０（㎠）から、
半径×半径＝１０÷３.１４＝約３.１８と導き出すことができます。ここで、半径の長さを求める必要はありませんし、小学生が求めることもできないはずです。

この数値を使って、正方形ABCDの面積＝半径×半径×２＝３.１８×２＝６.３６
よって求める正方形EFGH=６．３６÷２＝３.１８
少数第二位を四捨五入して、求める面積は３.２（㎠）




２．江戸川女子中学校

斜線部分の面積は、四分円の面積から正方形の面積を引いて求めることができます。正方形の一辺の長さは出ていますが、円の半径は出ていません。

円の半径は、正方形の対角線の長さと一致しています。このことを利用して円の面積を求めます。

まず正方形の面積は、一辺×一辺＝１０×１０＝１００（㎠）
また、対角線の長さをXｃｍとすれば、
正方形の面積＝対角線×対角線÷２＝Ｘ×Ｘ÷２＝１００でもありますから、
Ｘ×Ｘ＝２００・・・このことから半径×半径＝２００であることが分かります。

よって求める斜線部分の面積は、半径×半径×３.１４÷４−正方形の面積となり、
２００×３.１４÷４−１００＝１５７−１００＝５７（㎠）




３．ラ・サール中学校
（ア）2つのおうぎ形の面積の比を求める。
おうぎ形Ｂの面積は、半径×半径×３１４×２７０/３６０で求めることができます。
また、半径×半径は正方形の面積と一致しますから、その数値は、１０×１０÷２＝５０となります。

よって求めるおうぎ形ＢとＣの面積比は、
（５０×３.１４×２７０/３６０）：（１０×１０×３.１４×４５/３６０）
＝５０×３/４：１００×１/８
＝３：１

（イ）2つのおうぎ形の面積の差を求める。
これは、前の問題の（ア）ができれば簡単です。
おうぎ形Ｂ−おうぎ形Ｃ
＝５０×３.１４×２７０/３６０−１０×１０×３.１４×４５/３６０
＝（３７.５−１２.５）×３.１４
＝２５×３.１４
＝７８.５（㎠）



円の面積を求める問題で、半径の長さが出ていないとき、半径×半径の数値が出せるかどうか考えて解く問題でした。この解き方も、日常の学習で経験的に習得すべき考え方です。

最新の中学入試問題を使い、こうした経験的に理解しておくポイントを含む問題を取り上げ、１３回にわたって説明してきました。難しい問題ではありませんが、出題頻度も高く、理解していないと解く手がかりが掴めない問題です。

２月上旬の中学入試、そして３月２日には都立高校の合格発表、続いて国立大学の合格発表があり、今年の受験シーズンは終了します。今度は、今年度入試問題が出そろった頃に、問題を分析して、別の視点から合格のためのアドバイスをしたいと思います。