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高校入試と「平行四辺形の定義と定理について」

2017年05月17日 10時09分46秒 | 中学数学








高校入試と「平行四辺形の定義と定理について」




図形の
「定理」は定義と違い複数存在するので、証明の方法も通りとは限りません

辺の長さだけでなく角度などを使った証明も可能になるので、「定義」と「定理」をすべて覚えて、

どの条件を証明に用いるべきかを判断できるようにしましょう。



◎ 平行四辺形: 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形 (定 義)

 定 理1: 「平行四辺形の2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい」


 〈証 明〉


   平行四辺形のACを結ぶ対角線を引きます

   

   △ABC△CDA において、

   ∠BAC∠DCA,∠BCA∠DAC ―― ① (平行線の錯角
   ACCA ―― ② 共通の辺

   ①②より、 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同 であるから、

   △ABC ≡ △CDA  である

   合同な図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、

   ABCD, ADCB である ・・・ 証明終わり


 定 理2: 「平行四辺形の2組の向かい合う角はそれぞれ等しい」


 〈証 明〉

   定理1.のと同様に、補助線としての対角線ACを引き、
△ABC≡△CDAであることを証明してから、

   合同な図形の対応する角度はすべて等しいので、

   ∠ABC∠CDA, ∠BAC∠DCA, ∠BCA∠DAC
   ∠BAD∠BAC∠DAC, ∠BCD∠BCA∠DAC であるから、
   ∠BAD∠BCD ・・・ 証明終わり


 定 理3: 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる

 〈証 明〉


   平行四辺形のAC, BD を結ぶ2本の対角線を引きます

      

   △ABO△CDO において、
   ∠OCD∠OAB, ∠OBA∠ODC ―― ① 平行線の錯角
   ABCD ―― ② 平行四辺形の対辺

   ①②より、 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、

   △ABO ≡ △CDO である。

   合同な2つの図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、

   OBOD,OAOC ・・・ 証明終わり


次に、この3つの定理の逆 「○○ならば平行四辺形である」 について復習します。


 定理1の逆: 「向かい合う2組の辺がそれぞれ等しい四角形は平行四辺形である」

   定理1同様、補助線ACを引けば、


   

   仮定より、ABCD,ADBC ―― ①

           ACCA ―― ② 共通の辺

   合同条件 3辺がそれぞれ等しい」より、 △ABC ≡ △CDA


   合同な図形の対応する角はすべて等しいので、

      ∠BAC∠DCA ―― ③ 
       ∠BCA∠DAC ―― ④

   ③④より、 錯角が等しい2つの直線は平行であるから、

      AB // DC, AD // BC

   よって、 

   向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である ・・・ 証明終わり



 定理2の逆: 「向かい合う2組の角がそれぞれ等しい四角形は平行四辺形である」

 〈証 明〉


   平行四辺形ABCDABの延長線BEを引きます

   

   仮定より、∠A∠C,∠B∠D ―― ①

       ∠A∠Cx, ∠B∠Dy  とすると
        ∠A∠B∠C∠D=360° より
          xyxy 360°  2(xy360°
   ∴  xy180° ―― ③

   直線のつくる角は180°であるから、

         ∠B∠CBE180°    y ∠CBE180°
   ③より、 ∠CBEx  ―― ④

   これにより、 ∠A∠C∠CBEx   ―― ⑤

   このとき、∠Aと∠CBEは同位角、∠Cと∠CBEは錯角に当たるので、

   ⑤より、 AD // BC,  AB // DC

   よって、

   向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である ・・・ 証明終わり


 定理3の逆: 「四角形の対角線がそれぞれの中点で交わるならば、この四角形は平行四辺形である」


   四角形ABCDAC, DB を結ぶ対角線の交点をOとするとき、

   

   △ABO△CDOにおいて、

   仮定より、AO=CO,BO=DO ―― ①
         ∠AOB=∠COD ―― ② 対頂角

   ①②より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同 であるから、

   △ABO ≡ △CDO である。

   合同な図形の対応する角はすべて等しいので、

   ∠BAO∠DCO であり、錯角が等しいので AB // DC ―― ③

   同様に、△BCO△DAOにおいて、

   仮定より、AOCO,BODO ―― ①
         ∠AOD∠COB ―― ② 対頂角

   ①②より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、

   △BCO ≡ △DAO である。

   合同な図形の対応する角はすべて等しいので、

   ∠OCB∠OAD であり、錯角が等しいので AD // BC ―― ④

   ③④より、向かい合う2組の辺が平行であるからこの四角形は平行四辺形である ・・・ 証明終わり




〈演習問題にチャレンジ〉

         「四角形ABCDにおいて、AD=BC, AD // BC であるならば、この四角形は平行四辺形で
         あることを証明しなさい」


          





〈前回の演習問題の答え〉


     





授業で学習した内容をしっかり身に着ける!
☆ [要点整理]と[演習問題]を一体化した実践学習 〉〉




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