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高校入試と「直角三角形の定義と定理について」

2017年05月17日 10時06分38秒 | 中学数学


三角形の種類




高校入試と「直角三角形の定義と定理について」





◎ 直角三角形: 内角の1つが直角である三角形(定 義)

直角三角形の直角以外の2つの角鋭角と呼び、それらの大きさの和が90°になります。

また、直角と向かい合う辺(対辺)斜辺といい、残りの2辺を直角をはさむ2といいます。


ふつう、三角形の合同条件は3


        ・3辺がそれぞれ等しい

        ・2辺とその間の角がそれぞれ等しい
        ・1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

でしたが、直角三角形にはほかにも2

 
       ・斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

       ・斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

という条件があります。



   1.「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」


 〈証 明〉


書かれた文章から、図のような2つの三角形をイメージします。

     


  △ABC△DEFにおいて、


   仮定より、


     ACDF ―― ①

     ∠A∠D,∠B∠E90° ―― ②
     ∠C180°(∠A∠B)
     ∠F180°(∠D∠E)
   ②より、∠C∠F ―― ③

   ①②③より、

   1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、


     △ABC≡△DEF ・・・ 証明終わり



   2.「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい2つの直角三角形は合同である」


 〈証 明〉

   

   


   △ABC△DEFを図のように、頂点A, D、頂点B, E が重なるようにならべて考えます。


   このとき、 ∠CBF∠ABC∠DEF90°90°180°

   よって、C,B(E),F 一直線上にあることになるから、
   △ACFAC=DF二等辺三角形になる。
   したがって、 ∠C=∠F ―― ① 二等辺三角形の底角
 
   ここで、△ABC△DEFにおいて

   仮定より、ACDF ―― ②
         ABDE ―― ③
         ∠B∠E90° ―― ④

   また ∠A180°(∠B∠C)

        ∠D180°(∠E∠F)
   ①より、 ∠A∠D ―― ⑤

   ①②⑤より、

     1辺とその両端の角がそれぞれ等しい2つの三角形
     (②③⑤より、2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形)は合同であるから、


     △ABC≡△DEF ・・・ 証明終わり


2.の証明では、「補助線」を用いるときと同じひと工夫が必要で、この場合、2つの直角三角形を

並べかえることで証明が可能になります。


〈演習問題にチャレンジ〉


       「∠BCD=90°で、BDは∠ADCの二等分線である。点AからBDに垂線を引き、その交点をEとする。
        BD=ADであるとき、△BCD≡△AEDを証明しなさい」


          



〈前回の問題の答え〉

     








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☆ [要点整理]と[演習問題]を一体化した実践学習 〉〉




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