２０１０年７月２０日（火） スカイツリー君は何処から見える？
先日、７月１４日（水）の読売新聞夕刊に、建設中のスカイツリーが、着工から２年を迎えたのを機に、現在、どの範囲から見えるか、の記事が掲載された。この時点の高さは、３９８ｍである。
記事の中で、「東京スカイツリーここから見えるよＭＡＰ」が紹介されており、早速、覗いてみた。自分の町や、登った山から見えた、と言う記事が、写真つきで載っている。現在は、７００枚を越える写真が、投稿されているようだ。
「どの範囲から見えるか、記録を募集したら面白いだろうなー」、などと思っていただけに、ぴったりの企画である。
首都圏からは、良く見え、足立区内の我が家からも、直線距離にして、９ｋｍ程度の距離にあり、毎日、成長振りを楽しんでいるところである。
スカイツリーに関しては、愛着を込めて、これまで、以下のように、当ブログで取り上げてきている。
２０１０／４／０２ スカイツリー君の成長
２０１０／４／１４ スカイツリー君の横顔
２０１０／５／１４ スカイツリー君を見上げる
新聞記事に触発されて、理論的には、どのくらいの範囲から見えるのかな？ という、数学的な興味が湧いてきた。ネットで得られる情報などを、色々参考にしながら、今回、検討してみることとした。
距離計算のモデルを考える時、地球が丸い（球体と仮定）ことを考慮しなければならない。海などに行くと、水平線（地平線）の彼方から、船の帆柱が、少しづつ現れてくる光景をよく見るが、これは、地球が丸いことが実感できる体験である。
半径Ｒの地球上で、Ｈ１の高さの視点Ｐ１から、高さＨ２の目標物Ｐ２を遠望する場合の距離限界は、地平線を超えて見通せる限界点から、求めることができる。視点Ｐ１と目標物Ｐ２を結んだ直線（地平線）が地表にＧで接する状態が、距離限界になる。この時、視点Ｐ１と接点Ｇと地球の中心Ｏとは、直角三角形を構成すると考えられる。同様に、接点Ｇと、目標物Ｐ２と地球の中心Ｏも、直角三角形を構成すると考えられる。
先ず、Ｈ１の高さの視点から、地平線の接点Ｇまでの距離Ｘ１は、地球の半径をＲとすると、ピタゴラスの定理から
Ｘ１＝√（（Ｈ１＋Ｒ）＊＊２－Ｒ＊＊２） （＊＊２は、２乗の表記）
＝√（Ｈ１＊＊２＋２Ｈ１Ｒ）
ここで、Ｈ１＝０．００１７ｋｍ（身長の高さ）、Ｒ＝６３７０ｋｍとすると
Ｘ１＝√（０．０００００２８９＋２１．６６）≒√２１．６６＝４．６５ｋｍ
となる。
これから、海などで、海岸から眺める地平線の距離は、意外に近いことが分かる。
次に、地平線の接点Ｇ（視点の高さは０）から、Ｈ２の高さの建造物を、見た時の距離を計算する（これは、Ｈ２の高さの視点から、反対方向に、地平線の接点Ｇまでの、距離を求めるのと同じである）。 接点Ｇから目標物までの距離Ｘ２は、同じように、ピタゴラスの定理から、
Ｘ２＝√（（Ｈ２＋Ｒ）＊＊２－Ｒ＊＊２）
＝√（Ｈ２＊＊２＋２Ｈ２Ｒ）
ここで、Ｈ２＝０．３９８ｋｍ、Ｒ＝６３７０ｋｍとすると
Ｘ２＝√（０．１５８４０４＋５０７０．５２）＝√５０７０．６８
＝７１．２ｋｍ
となる。
ここで、Ｈ２＝０．６３４ｋｍ（スカイツリーの完成時の高さ）としてみると
Ｘ２＝√（０．４０２＋８０７７．１６）＝√８０７７．５６
＝８９．８８ｋｍ
となり、見える範囲が、現在よりも、かなり広がることが分かる。
従って、現在のスカイツリーを、身長の高さの視点から、地平線を通して遠望できる限界直線距離Ｘは、以下のようになる。
Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝４．６５＋７１．２＝７５．８５ｋｍ
これは、北は、栃木県南部、西は、神奈川県西部くらいになろうか。 完成時は、これより、更に、２０ｋｍ近く広がることになる。
視点１が、身長の高さでなく、仮に、１０００ｍ近い山頂とすると、Ｈ１＝１．０ｋｍを代入すれば
Ｘ１＝√（１＋１２７４０）＝１１２．８８ｋｍになり
全体のＸは
Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝１１２．４＋７１．２＝１８３．６ｋｍ
と、かなり広がることが分かる。北は、福島県南部辺りの１０００ｍ級の山頂から、西は、南アルプス辺りの１０００ｍ級の山頂から、現在でも、見える計算になる。
ただし、これらの計算は、途中に山岳や建物や、雲等の障害物が、一切無い場合の計算である。
このモデルで、Ｈ２＝０の時が、高さＨ１の視点から見渡せる地平線までの距離Ｘ１になる。スカイツリーで言えば、スカイツリーの展望台に登ってＨ１の視点から見渡せる地平線までの距離範囲となるので、展望台の高さを、０．４５０ｋｍ（第二展望台）とすると
Ｘ１＝√（０．２０２５＋５７３３）＝√５７３３．２＝７５．７２ｋｍ
となり、首都圏中心部が展望できるが、群馬や栃木は、入らないかも知れない。
ここまでのモデルでは、視点Ｐ１と目標物Ｐ２間の直線距離を求めたが、地表面での距離を求めるには、地球円周の弧の長さを求める、逆三角関数の計算が必要で、今回は省略する。
今回の話題に関連して思い浮かぶのは、日本一の名山、富士山である。 富士山といえば、誰しも一生に一度は、登ってみたい山で、３６０度のパノラマが楽しめる、天然の展望台だ。幸い、自分は以前、家人と、登ったことがある。
この名峰富士が、どこから見えるか、と言うことで調べたら、膨大な情報があるようだ。
距離的には見える範囲なのだが、途中の山でマスクされて、見えないところも多いようだ。パソコン用の３Ｄ立体地図ソフト、カシミールなどで、障害物の有無を検証したデータもあるようだ。富士山の写真撮影に成功した、最も遠い地点は、和歌山県那智勝浦町の妙法山（距離 ３２２ｋｍ）で、次の地点は、福島県二本松市の日山（距離 ２９９ｋｍ）という。
先のモデルで、視点Ｐ１を１０００ｍ級の山頂（Ｈ１＝１．０ｋｍ）とし、遠望する目標Ｐ２を富士山（Ｈ２＝３．７７６ｋｍ）とすると、
Ｘ１＝√（１＋１２７４０）＝√１２７４１＝１１２．８８ｋｍ
Ｘ２＝√（１４．２６＋４８１０６．２４）＝√４８１２０．５
＝２１９．３６ｋｍ
直線距離Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝３３２．２４ｋｍ
となる。 この距離は、日本地図で言えば、北は宮城県北部、西は、志摩半島あたりになろうか。
日本には、特に、関東を中心に、富士見○○といった地名が、あちこちにある。以前、尾瀬に行った時に、沼田から入って富士見峠を上った記憶があるが、あそこからも、勿論、富士山は見えたのであろう。
現在、国内で、富士山が見える最遠の地となっているのは、上述の妙法山のようで、客観的に記録されたのが、１９９７年と言うから、意外に最近なのである。
古来から、那智勝浦の熊野大社への熊野詣の際に、熊野古道から富士山が見えた、という言い伝えがあったと言う。
先日、７月１４日（水）の読売新聞夕刊に、建設中のスカイツリーが、着工から２年を迎えたのを機に、現在、どの範囲から見えるか、の記事が掲載された。この時点の高さは、３９８ｍである。
記事の中で、「東京スカイツリーここから見えるよＭＡＰ」が紹介されており、早速、覗いてみた。自分の町や、登った山から見えた、と言う記事が、写真つきで載っている。現在は、７００枚を越える写真が、投稿されているようだ。
「どの範囲から見えるか、記録を募集したら面白いだろうなー」、などと思っていただけに、ぴったりの企画である。
首都圏からは、良く見え、足立区内の我が家からも、直線距離にして、９ｋｍ程度の距離にあり、毎日、成長振りを楽しんでいるところである。
スカイツリーに関しては、愛着を込めて、これまで、以下のように、当ブログで取り上げてきている。
２０１０／４／０２ スカイツリー君の成長
２０１０／４／１４ スカイツリー君の横顔
２０１０／５／１４ スカイツリー君を見上げる
新聞記事に触発されて、理論的には、どのくらいの範囲から見えるのかな？ という、数学的な興味が湧いてきた。ネットで得られる情報などを、色々参考にしながら、今回、検討してみることとした。
距離計算のモデルを考える時、地球が丸い（球体と仮定）ことを考慮しなければならない。海などに行くと、水平線（地平線）の彼方から、船の帆柱が、少しづつ現れてくる光景をよく見るが、これは、地球が丸いことが実感できる体験である。
半径Ｒの地球上で、Ｈ１の高さの視点Ｐ１から、高さＨ２の目標物Ｐ２を遠望する場合の距離限界は、地平線を超えて見通せる限界点から、求めることができる。視点Ｐ１と目標物Ｐ２を結んだ直線（地平線）が地表にＧで接する状態が、距離限界になる。この時、視点Ｐ１と接点Ｇと地球の中心Ｏとは、直角三角形を構成すると考えられる。同様に、接点Ｇと、目標物Ｐ２と地球の中心Ｏも、直角三角形を構成すると考えられる。
先ず、Ｈ１の高さの視点から、地平線の接点Ｇまでの距離Ｘ１は、地球の半径をＲとすると、ピタゴラスの定理から
Ｘ１＝√（（Ｈ１＋Ｒ）＊＊２－Ｒ＊＊２） （＊＊２は、２乗の表記）
＝√（Ｈ１＊＊２＋２Ｈ１Ｒ）
ここで、Ｈ１＝０．００１７ｋｍ（身長の高さ）、Ｒ＝６３７０ｋｍとすると
Ｘ１＝√（０．０００００２８９＋２１．６６）≒√２１．６６＝４．６５ｋｍ
となる。
これから、海などで、海岸から眺める地平線の距離は、意外に近いことが分かる。
次に、地平線の接点Ｇ（視点の高さは０）から、Ｈ２の高さの建造物を、見た時の距離を計算する（これは、Ｈ２の高さの視点から、反対方向に、地平線の接点Ｇまでの、距離を求めるのと同じである）。 接点Ｇから目標物までの距離Ｘ２は、同じように、ピタゴラスの定理から、
Ｘ２＝√（（Ｈ２＋Ｒ）＊＊２－Ｒ＊＊２）
＝√（Ｈ２＊＊２＋２Ｈ２Ｒ）
ここで、Ｈ２＝０．３９８ｋｍ、Ｒ＝６３７０ｋｍとすると
Ｘ２＝√（０．１５８４０４＋５０７０．５２）＝√５０７０．６８
＝７１．２ｋｍ
となる。
ここで、Ｈ２＝０．６３４ｋｍ（スカイツリーの完成時の高さ）としてみると
Ｘ２＝√（０．４０２＋８０７７．１６）＝√８０７７．５６
＝８９．８８ｋｍ
となり、見える範囲が、現在よりも、かなり広がることが分かる。
従って、現在のスカイツリーを、身長の高さの視点から、地平線を通して遠望できる限界直線距離Ｘは、以下のようになる。
Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝４．６５＋７１．２＝７５．８５ｋｍ
これは、北は、栃木県南部、西は、神奈川県西部くらいになろうか。 完成時は、これより、更に、２０ｋｍ近く広がることになる。
視点１が、身長の高さでなく、仮に、１０００ｍ近い山頂とすると、Ｈ１＝１．０ｋｍを代入すれば
Ｘ１＝√（１＋１２７４０）＝１１２．８８ｋｍになり
全体のＸは
Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝１１２．４＋７１．２＝１８３．６ｋｍ
と、かなり広がることが分かる。北は、福島県南部辺りの１０００ｍ級の山頂から、西は、南アルプス辺りの１０００ｍ級の山頂から、現在でも、見える計算になる。
ただし、これらの計算は、途中に山岳や建物や、雲等の障害物が、一切無い場合の計算である。
このモデルで、Ｈ２＝０の時が、高さＨ１の視点から見渡せる地平線までの距離Ｘ１になる。スカイツリーで言えば、スカイツリーの展望台に登ってＨ１の視点から見渡せる地平線までの距離範囲となるので、展望台の高さを、０．４５０ｋｍ（第二展望台）とすると
Ｘ１＝√（０．２０２５＋５７３３）＝√５７３３．２＝７５．７２ｋｍ
となり、首都圏中心部が展望できるが、群馬や栃木は、入らないかも知れない。
ここまでのモデルでは、視点Ｐ１と目標物Ｐ２間の直線距離を求めたが、地表面での距離を求めるには、地球円周の弧の長さを求める、逆三角関数の計算が必要で、今回は省略する。
今回の話題に関連して思い浮かぶのは、日本一の名山、富士山である。 富士山といえば、誰しも一生に一度は、登ってみたい山で、３６０度のパノラマが楽しめる、天然の展望台だ。幸い、自分は以前、家人と、登ったことがある。
この名峰富士が、どこから見えるか、と言うことで調べたら、膨大な情報があるようだ。
距離的には見える範囲なのだが、途中の山でマスクされて、見えないところも多いようだ。パソコン用の３Ｄ立体地図ソフト、カシミールなどで、障害物の有無を検証したデータもあるようだ。富士山の写真撮影に成功した、最も遠い地点は、和歌山県那智勝浦町の妙法山（距離 ３２２ｋｍ）で、次の地点は、福島県二本松市の日山（距離 ２９９ｋｍ）という。
先のモデルで、視点Ｐ１を１０００ｍ級の山頂（Ｈ１＝１．０ｋｍ）とし、遠望する目標Ｐ２を富士山（Ｈ２＝３．７７６ｋｍ）とすると、
Ｘ１＝√（１＋１２７４０）＝√１２７４１＝１１２．８８ｋｍ
Ｘ２＝√（１４．２６＋４８１０６．２４）＝√４８１２０．５
＝２１９．３６ｋｍ
直線距離Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＝３３２．２４ｋｍ
となる。 この距離は、日本地図で言えば、北は宮城県北部、西は、志摩半島あたりになろうか。
日本には、特に、関東を中心に、富士見○○といった地名が、あちこちにある。以前、尾瀬に行った時に、沼田から入って富士見峠を上った記憶があるが、あそこからも、勿論、富士山は見えたのであろう。
現在、国内で、富士山が見える最遠の地となっているのは、上述の妙法山のようで、客観的に記録されたのが、１９９７年と言うから、意外に最近なのである。
古来から、那智勝浦の熊野大社への熊野詣の際に、熊野古道から富士山が見えた、という言い伝えがあったと言う。
