２０１１年９月２日（金） 数学ブーム その２
先日、当ブログで
数学ブーム その１ １ａ、１ｂ、１ｃ（２０１１／８／２９）
の記事を載せたが、今回は、その続編である。
前回は、下記のオイラーの公式
ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
が、出来るまでの経過をたどったが、他の方法によっても、この公式に到達できるので、それを示しながら、ネイピア数ｅや、円周率πについて、触れることとしたい。
既に、１８世紀には、微分積分学から発展して、各種関数の、無限級数による展開が可能になっている。 オイラーの公式は、この、関数の展開を用いて、比較的容易に導き出せる。
オイラーの公式に出てくる各関数は、マクローリン展開により、以下のように、無限級数に展開できる。
○指数関数 ｅＸ＝１＋Ｘ／１！＋Ｘ２／２！＋Ｘ３／３！＋Ｘ４／４！
-------＋Ｘｎ／ｎ！＋----------
○三角関数
ｃｏｓＸ＝１－Ｘ２／２！＋Ｘ４／４！－Ｘ６／６！＋-------
＋（－１）ｍＸ２ｍ／（２ｍ）！＋ --------
ｓｉｎＸ＝Ｘ－Ｘ３／３！＋Ｘ５／５！－Ｘ７／７！＋ ------
＋（－１）ｍ－１Ｘ２ｍ－１／（２ｍ－１）！ ＋--------
これらの、展開式を使って、以下に、オイラーの公式を求める。
指数関数ｅｘで、変数を、オイラーの公式にある、複素数に拡大し、Ｘ＝ｉＸとして（ｉは虚数単位）展開すると、
ｅｉＸ ＝１＋ｉＸ／１！＋（ｉＸ）２／２！＋（ｉＸ）３／３！ ＋
（ｉＸ）４／４！＋（ｉＸ）５／５！＋（ｉＸ）６／６！＋（ｉＸ）７／７！
--------＋（ｉＸ）ｎ／ｎ！＋-----------
ｉ２＝－１であるから
＝１＋ｉＸ／１！－Ｘ２／２！－ｉＸ３／３！＋Ｘ４／４！＋Ｘ５／５！－
Ｘ６／６！－ｉＸ７／７！＋-------＋（－１）ｍ－１Ｘ２ｍ－１／（２ｍ－１）！
＋（－１）ｍ（ｉＸ）２ｍ／（２ｍ）！＋ --------
＝｛１－Ｘ２／２！＋Ｘ４／４！－Ｘ６／６！＋---＋（－１）ｍ（ｉＸ）２ｍ／（２ｍ）！--｝＋ｉ｛Ｘ／１！－Ｘ３／３！＋Ｘ５／５！－--＋-（－１）ｍ－１Ｘ２ｍ－１／（２ｍ－１）！ ---｝
ここで、｛ ｝内を、上述の、三角関数の展開式に置き換えると
＝ｃｏｓＸ＋ｉｓｉｎＸ
即ち、
ｅｉＸ＝ｃｏｓＸ＋ｉｓｉｎＸ
の、オイラーの公式が得られる。
前のブログで、オイラーの公式を導くにあたって、極限状態での近似を使ったことなどを述べたのだが、微分積分の考え方と同じであったと言え、上記のように、展開式によっても、公式が正しかった事が証明できる、と言うことであろう。
微分積分学から発展した、無限級数による関数展開については、これ以上の深入りはしない。
