一辺4と一辺3の正方形_iv

(耳慣れない)iiiへ

　反射的にKちゃんが
「しぐま（シグマ）って」
とΣについて尋ねるとJさんが書く仕草をしたので（一瞬、何？って思ったけど直ぐに）Kちゃんは持っていたペンを出して渡す。受け取ったJさんは正方形に使われなかった部分の（チラシだった）紙の余白にシグマの記号であるΣを書き、
「これがシグマ（の記号）でΣの上と下には小さな文字（添え字）を・・・・・・」
とΣ上下の添え字によってあらわされる（区）間についてΣ右に記述されている式の総和を表わすことや数列という分野で高校の数学で習うよ、など二、三の例と共に説明。続けて、縦割りレクの子供ガウスが典型的だと（思い出したように）付け足す。

　子供ガウスに反応したKちゃんが
100
Σ k = 1+2+3+…+98+99+100 （ = 5050）
k=1
と（チラシの）余白を見つけて書き、再び正方形の集まりを眺めながら
「それにしても、一から四までの間を二回ずつ掛けてるじゃなくて・・・三回ずつってのが・・・」
と（探しモノが）見つからずJさんを見やる。片やKちゃんの理解の早さに感心しながら二回ずつというKちゃんが正方形の面積について気づいてると察したJさんは
「一辺1が四枚、2が八枚、3が十二枚、4が十六枚って各辺の長さに四掛けた枚数の四の倍数で増えていくから・・・・・・」
と大小四十枚の正方形の面積の足し算が1x1が4x1枚の面積、2x2が4x2枚の面積、3x3が4x3枚の面積、4x4が4x4枚の面積の合計になり(1^3+2^3+3^3+4^3)x4になる旨を説明した。
「本当だ。確かにJさんの言う通りで3回だ！　この正方形の集まりには1^3+2^3+3^3+4^3がある！！」
と納得してくれるKちゃんを見て嬉しくなると同時にJさんは覚え易い印象がある公式Σk^3=(n(n+1)/2)^2=(n^2(n+1)^2)/4を思い浮かべていた。※上下の添え字省く

　公式通りであれば左辺を四倍すれば大小四十枚分の面積の合計で右辺は一辺20の二乗で正方形の面積そのものになっている。そもそも20って一辺4の正方形が五つ・・・・・・などとJさんが思考を巡らしている一方で高校生まで何年かあるKちゃんが各サイズの正方形の一枚だけを中心から外側へ指で（幾度か）辿っている。巡りと辿りがかつての縦リクのように学年のズレを緩衝し重ね合わせたのか二人の声が揃う。
「「一辺20も（子供）ガウスも（Σkが）ある。しかも2Σkだ。」」

　大きな正方形の一辺が図形的に2(1+2+3+4)であることが一目瞭然の配置と気づいたKちゃんとJさん。
　頭の中で一辺nの正方形4n枚で囲まれた大きな正方形が思い浮かべられているのだろうか（一辺1から順番に一辺nの正方形を頭の中で並べているKちゃんとJさんは）二つの手順を思い浮かべている（に違いない）。

1x1が4x1個の面積、2x2が4x2個の面積、3x3が4x3個の面積、4x4が4x4個の面積、
・・・・・・
(n-3)x(n-3)が4x(n-3)個の面積、(n-2)x(n-2)が4x(n-2)個の面積、(n-1)x(n-1)が4x(n-1)個の面積、nxnが4xn個を合わせた面積をΣを使った表せば
n
4Σk^3
k=1
である。
　もう一つは
つづく

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