倍数の見つけ方

分数でまだ約分できるかどうか迷うことがよくあります。数が大きくなったり，見なれない数字が出てくると，どんな数で割れるかの判定法があればいいですよね。特に3の倍数などは問題にもよく出てきます。

【2の倍数】

1の位が2の倍数（偶数）であること。

100a+10b+c=2(50a+5b)+c

【3の倍数】

各位の数の和が3の倍数であること。

例えば，x=1,456,863→1+4+5+6+8+6+3=33よりxは3の倍数。

100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=3(33a+3b)+(a+b+c)

【4の倍数】

下2桁の数が4の倍数であること。

例えば，x=1,456,863→下2桁の数y=63は4の倍数でないから，xも4の倍数でない。

100a+10b+c=4×25a+10b+c

【5の倍数】

1の位の数が0か5であること。

【6の倍数】

各位の数の和が3の倍数で，なおかつ1の位が偶数であること。

例えば，x=1,456,863→1+4+5+6+8+0+3=27となり3の倍数であるが，偶数ではないのでxは6の倍数ではない。

6の倍数は2の倍数かつ3の倍数であることから明らか。

【7の倍数】

末位から3桁ごとに区切り，左端の区画を最初の区画とするとき，奇数の区画の総和－偶数の区画の総和が7の倍数であること。

例えば，x=35,123,473→35｜123｜473と区切ると，奇数の区画の総和=35+473=508，偶数の区画の総和=123，508-123=385は7の倍数なのでxは7の倍数。

100000a+10000b+1000c+100d+10e+f=1000(100a+10b+c)+(100f+10g+h)=143×7(100a+10b+c)-(100a+10b+c)+(100f+10g+h)

【8の倍数】

下3桁が000か，8の倍数であること。

例えば，x=1,456,863→863は8の倍数ではないので，xも8の倍数ではない。

10，100は8の倍数ではないが，1000は8の倍数。

10000a+1000b+100c+10d+e=1000(10a+b)+100c+10d+e

【9の倍数】

各位の数の和が9の倍数であること。

例えば，x=1,456,803→1+4+5+6+8+0+3=27よりxは9の倍数。

100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=9(11a+b)+a+b+c

【10の倍数】

1の位の数が0であること。

 

【11の倍数】

末位から奇数番目の数の和と，偶数番目の数の和の差が11の倍数であること。
例えば，x=123,456,707→123456707の奇数番目の数の和=1+3+5+7+7=23，偶数番目の数の和=2+4+6+0=12，23-12=11なのでxは11の倍数。
10000a+1000b+100c+10d+e=10000a+100c+e)+1000b+10d)=11(909a+11c+e)+11(91b+d)+(a+c+e)-(b+d)

1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 3 で割った余りを求めよ。

1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 16 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 13 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 12 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 11 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 10 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 9 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 8 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 7 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 6 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 4 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 3 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 2 で割った余りを求めよ。

6けたの整数が3の倍数になる確率を求めよ

問題

1から6までの6個の整数をすべて並べて6けたの整数を作ります。このとき、6けたの整数が3の倍数になる確率を求めよ。

質問

答えは1+2+3+4+5+6=21と3の倍数であるから1らしいです。

しかし21は7の倍数でもあるのに確率は1になりません。
なぜでしょうか。

3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。

3つの箱に3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。　
3つの箱に赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。　
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。

3つの箱に6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。　
3つの箱に6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。　　
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。　　
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。

3つの箱に6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。　
3つの箱に6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。　　
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。　　
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。