「バケ」について

『犬のジュース屋さんZ』6巻で、
カバ先生が1と2の間に新たな整数「バケ」を見つける話があります。



例えば「バケ」を「Ｚ」とした場合、
１、Ｚ、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１Ｚ、１２、１３、１４、
１５、１６、１７、１８、１９、Ｚ０、Ｚ１、ＺＺ、Ｚ２……
となり、今まで2個だったものがZ個、3個だったものが2個になる訳です。
では、今年、2010年はいくつになるのか。

答えは1457年。

あの海外ドラマ『24』は『ZZ』になるのです。

以下がその筋に詳しい方に説明してもらった解法です。

＜解法＞

まず、Zの存在を忘れます。
10進法で言う2009を一般的な11進法で表記することを考えます。
その後で一般的な11進法における文字の扱いにZの考えを加えます。

2009を10進法で言うと、
2009 = 1000 x 2 + 100 x 0 + 10 x 0 + 1 x 9 です。
11進法において2009をこのように分解して考えてみます。
11進法の単位 1331(11x11x11), 121(11x11), 11
の組み合わせで考えることになります。

「大きな単位から順に、商が11を超えずになるべく大きく、
割り切れるか、余りが出るように、割っていく」(*1)ことを続けます。
2009を最初に1331で割ると、商が1で余りは678。
678を121で割ると、商が5で余りは73。
73を11で割ると、商が6で余りが7。
これにて、

2009 = 1331 x 1 + 121 x 5 + 11 x 6 + 1 x 7
つまり、
2009(10進法) = 1番目の文字 と 5番目の文字 と 6番目の文字 と 7番目の文字 を結合したもの(11進法)
となります。

ここではじめてZの存在を思い出し、
Z的11進法においては、10進法と対比して考えると、
1番目の文字は1
2番目の文字がZで、
3番目以降の文字は元の数から1を引く。
なので、

2009(10進法) = 1番目の文字 と 5番目の文字 と 6番目の文字 と 7番目の文字 を結合したもの(11進法)
2009(10進法) = 1456(Z的11進法)

となります。
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実際にやってみよう。
＜変換エンジン＞
10進数をZ的11進数に変換
http://f2u.com/~fff/10to11z.php