さて、実際にQGISを使ってのCRS変換の作業に入りましょう。
1.【重要!】QGISのマッププロジェクトのCRS設定
まず最初にマッププロジェクトのCRSを、変換したいshapeファイルのもともとのCRSに合わせる必要があります。
これができていないと出来上がったファイルが他とうまく合いませんから注意してください。
国土数値情報のデータはすべて「JGD2000」で作成されていますから、マップのCRSを「JGD2000」にします。
QGISを立ち上げ、「設定」→「プロジェクトのプロパティ」を選択します。
こういう画面↓になります。「最近利用した座標参照系」は、表示されている内容がそれぞれ違うはずです。

真ん中あたりの「Search」のところで、権限を「全ての」、検索を「名称」にして、その下の四角に「JGD2000」と入力します。その後、「Find」を押します。

そうすると、JGD2000を含む座標参照系が順番に表示されていきます。
「Find」を押していくとどんどん次を検索します。
最後には先頭に戻りますが、勢い余って目当てのものを通り過ぎないように注意してください。
JGD2000とだけ書いてある座標参照系を選択し「OK」を押します。

これでマッププロジェクトのCRSが設定できました。
2. shapeファイル読み込み
マップのCRSが設定できたらshapeファイルを読み込みます。
メニューの「レイヤ」→「ベクタレイヤの追加」を選択するか、
アイコンから「ベクタレイヤの追加」をクリックしてください。

または

ソースタイプは「ファイル」、エンコーディングは「SHIFT-JIS」を選択してください。
エンコーディングを選択し損ねると文字化けします。
後でもなおせますが、いきなり文字化けして表示されると心臓に悪いのでここで選択しておきます。
「変換元データ」の「ブラウズ」をクリックします。

そうするとこんな↓画面になります。

表示させるshapeファイルを選択し、「開く」を押すと前の画面に戻るので、「Open」を押します。
設定にもよりますが、その時こんな↓ウィンドウが出る時があります。

prjファイルがついていないshapeファイルだから(この辺の話は「大雑把な話」で出てきました)
CRSを指定しろと言ってきています。
ここでは国土数値情報の四国のデータを使いましたが、
国土数値情報のCRSはJGD2000なので、「JGD2000」を選択し、「OK」を出すと、こうなります。

四国ですね。当たり前ですが。
スケールバーが0.4度になっているのが分かるでしょうか。
3.変換
準備ができたので変換をかけます。
今回は平面直角座標系にします。四国地方はIV系です。
「レイヤ」パネルのshapeファイル名を選択し、右クリックして「名前を付けて保存」を選択します。

そうすると、こんなの↓が出ます。

「形式」は「ESRI Shapefile」を選択してください。
「名前を付けて保存」の右側の「ブラウズ」を押して、変換後のファイルの保存場所とファイル名を指定してください。
※変換前のファイルと同じ名前は付けられません。
エンコーディングは元のファイルに合わせてください。ここでは「SHIFT-JIS」を選択します。
そして!
「CRS」の右側の「ブラウズ」を押すとこんなのが出てきます。

先ほども書きましたが四国は平面直角座標IV系になりますので、「JGD2000 / Japan Plane Rectangular CS IV」を選択し、OKを出します。
元の画面に戻りますので、OKを。
これで変換が出来ました。
変換したファイルをQGISに読み込みます。
CRSが変わりましたので、マッププロジェクトのCRSを新しくします。
CRSの違うファイルを、表示だけは矛盾なく混在させることもできるのですが、今はそれをやっても意味がないので、
新規にマッププロジェクトを作り、CRSを平面直角座標IV系にしておきます。
そこに変換したshapeファイルを読み込むと、こう↓なります。

なんとなく見た目が縦に伸びて、スケールバーが70kmになっているのが分かると思います。
これが70000度とか0.4mとかになっていたらどこかの段階でCRSの設定が間違っています。
70000度になっていたら、おそらく読み込むときのマッププロジェクトの設定の間違いですし
0.4mになっていたら変換自体に失敗しています。
確認してみましょう。
1.【重要!】QGISのマッププロジェクトのCRS設定
まず最初にマッププロジェクトのCRSを、変換したいshapeファイルのもともとのCRSに合わせる必要があります。
これができていないと出来上がったファイルが他とうまく合いませんから注意してください。
国土数値情報のデータはすべて「JGD2000」で作成されていますから、マップのCRSを「JGD2000」にします。
QGISを立ち上げ、「設定」→「プロジェクトのプロパティ」を選択します。

こういう画面↓になります。「最近利用した座標参照系」は、表示されている内容がそれぞれ違うはずです。

真ん中あたりの「Search」のところで、権限を「全ての」、検索を「名称」にして、その下の四角に「JGD2000」と入力します。その後、「Find」を押します。

そうすると、JGD2000を含む座標参照系が順番に表示されていきます。
「Find」を押していくとどんどん次を検索します。
最後には先頭に戻りますが、勢い余って目当てのものを通り過ぎないように注意してください。
JGD2000とだけ書いてある座標参照系を選択し「OK」を押します。

これでマッププロジェクトのCRSが設定できました。
2. shapeファイル読み込み
マップのCRSが設定できたらshapeファイルを読み込みます。
メニューの「レイヤ」→「ベクタレイヤの追加」を選択するか、
アイコンから「ベクタレイヤの追加」をクリックしてください。

または

ソースタイプは「ファイル」、エンコーディングは「SHIFT-JIS」を選択してください。
エンコーディングを選択し損ねると文字化けします。
後でもなおせますが、いきなり文字化けして表示されると心臓に悪いのでここで選択しておきます。
「変換元データ」の「ブラウズ」をクリックします。

そうするとこんな↓画面になります。

表示させるshapeファイルを選択し、「開く」を押すと前の画面に戻るので、「Open」を押します。
設定にもよりますが、その時こんな↓ウィンドウが出る時があります。

prjファイルがついていないshapeファイルだから(この辺の話は「大雑把な話」で出てきました)
CRSを指定しろと言ってきています。
ここでは国土数値情報の四国のデータを使いましたが、
国土数値情報のCRSはJGD2000なので、「JGD2000」を選択し、「OK」を出すと、こうなります。

四国ですね。当たり前ですが。
スケールバーが0.4度になっているのが分かるでしょうか。
3.変換
準備ができたので変換をかけます。
今回は平面直角座標系にします。四国地方はIV系です。
「レイヤ」パネルのshapeファイル名を選択し、右クリックして「名前を付けて保存」を選択します。

そうすると、こんなの↓が出ます。

「形式」は「ESRI Shapefile」を選択してください。
「名前を付けて保存」の右側の「ブラウズ」を押して、変換後のファイルの保存場所とファイル名を指定してください。
※変換前のファイルと同じ名前は付けられません。
エンコーディングは元のファイルに合わせてください。ここでは「SHIFT-JIS」を選択します。
そして!
「CRS」の右側の「ブラウズ」を押すとこんなのが出てきます。

先ほども書きましたが四国は平面直角座標IV系になりますので、「JGD2000 / Japan Plane Rectangular CS IV」を選択し、OKを出します。
元の画面に戻りますので、OKを。
これで変換が出来ました。
変換したファイルをQGISに読み込みます。
CRSが変わりましたので、マッププロジェクトのCRSを新しくします。
CRSの違うファイルを、表示だけは矛盾なく混在させることもできるのですが、今はそれをやっても意味がないので、
新規にマッププロジェクトを作り、CRSを平面直角座標IV系にしておきます。
そこに変換したshapeファイルを読み込むと、こう↓なります。

なんとなく見た目が縦に伸びて、スケールバーが70kmになっているのが分かると思います。
これが70000度とか0.4mとかになっていたらどこかの段階でCRSの設定が間違っています。
70000度になっていたら、おそらく読み込むときのマッププロジェクトの設定の間違いですし
0.4mになっていたら変換自体に失敗しています。
確認してみましょう。