π＞３．０５

今日は算数のお話。
実は昔、家庭教師で算数や英語も教えていたので、これらも割と得意です。
（社会や理科は苦手です…）


「円周率が３．０５より大きいことを証明せよ」
電車の中で見かけた、どこかの塾の中吊り広告です。
東大理Ⅰの問題らしい。

最初に思いついた解法。
円に内接するｎ角形の面積を用いる。

半径１の円に内接する正ｎ角形と外接する正ｎ角形の面積を考えます。
内接する正ｎ角形の面積＜円の面積＜外接する正ｎ角形の面積なので、
ｎ＝３のとき、から始めて順に近似させていけば良い。
しかし、あまり美しくないようなので却下しました。
（二重根号の計算が面倒だっただけという説もありつつ…ｗ）

第二考。
円周と内接する正ｎ角形の周で近似させるという発想を用いた解法。

半径１の円の円周と内接正６角形の周を比較。
２×π＞６×１
すなわちπ＞３
（これだけでも円周率を３にしてしまうことに抵抗を感じるのは私だけでしょうか？）
問題では３．０５より大きいとなっているので、これでは近似が甘いですね。
辺を増やして近似させることにします。

正八角形…二重根号の計算がウザいのでパス。
正十角形…ｃｏｓ３６°の計算が面倒なので止めておこう。
正十二角形…二重根号は出てくるが、ｃｏｓ３０°というのが恣意的で計算がしやすそうだ。これを用いて証明することにします。

（証明）
半径１の円の円周に、正十二角形が内接しているものとする。
正十二角形の一辺の長さをＸとすると、余弦定理により
Ｘ＾2＝１＾2＋１＾2－２・１・１・ｃｏｓ３０°＝２－２ｃｏｓ３０°＝２－√３
√３＝１．７３２０５０８…より
１．７３＜√３＜１．７４となるので

２－√３＞０．２６

よって、（２π）＾2＞（１２Ｘ）＾2　より、
π＾2 ＞ ３６・Ｘ＾2　
＞ ３６・０．２６＝９．３６
＞（３．０５）＾2＝９．３０２５

したがって、π＞３．０５が示された。

（Q.E.D）


まあ、多分こんな感じではないかな、と思います。


さて、ここまでは導入です（前振り長っ…）
ここからが本題ですが、これは算数の先生に聞いたお話。
「小学生に授業するときは、円に内接する正六角形と円に外接する正方形を使って、円周率というものを導入させるけど…」
「最近鋭いやつがいなくなってきているから、円周率が３よりおおきく４未満であることを説明できるやつがいないんだよね……」

とのこと。
この３＜π＜４の証明は小学校で学ぶ知識で解けるため、入試問題になるのかも知れません。
（上に書いたπ＞３．０５は無理でしょうが）

私は“鋭いやつ”は少なくなっていないと思います。
ただ塾の子供＝中学受験希望者の裾野が広がったのかな、と。
そして総生徒数が増えれば、校舎も分散するため“鋭いやつ”も分散してしまったのでは？
と、そんなことを考えつつ今日も授業です。