『シラフェと学ぶラグランジュ未定乗数法その3 リカードの等価定理と対数微分』

『シラフェと学ぶラグランジュ未定乗数法その3　リカードの等価定理と対数微分』

メローネ：logなんざ・・・logなんざぁぁぁ！
シラフェ：は？いきなりなによ？
メローネ：そのいきなり突き放すスタンスもいい加減何とかならない？そう、logは嫌がらせとしか思えない訳よ。
シラフェ：そう？十分便利じゃない。
メローネ：その証拠は？

・・・・・・・・・・・・・・・・・・

シラフェ：さて、以前も使った式で比較していきましょうか。　

（第1期／第2期）
所得：y／0
貯蓄：S（＝y-C_1）／－
消費：C_1／C_2（貯蓄分で利子率rの利子が付く為、（1＋r）Sが初期支出に充当）

max　U＝（C_1^0.6）（C_2^0.4）・・・01

s.t.　C_2＝（y－C_1）（1＋r）・・・02

ラグランジュ式Ｌは？

メローネ：02式を変形して

（y－C_1）（1＋r）－C_2＝0・・・03

01、03式から、

L＝（C_1^0.6）（C_2^0.4）＋λ｛（y－C_1）（1＋r）－C_2｝＝0・・・04

シラフェ：そうね、偏微分して、

∂L/∂C_1＝0・・・05

∂L/∂C_2＝0・・・06

05式を変形

∂L/∂C_1＝0.6（C_1^－0.4）（C_2^0.4）＋λ（1＋r）＝0・・・07

06式を変形

∂L/∂C_2＝0.4（C_1^0.6）（C_2^－0.6）＋λ＝0・・・08

08式を変形

0.4（C_1^0.6）（C_2^－0.6）＝－λ・・・09

09式を変形

－λ（1＋r）＝0.6（C_1^－0.4）（C_0.4）・・・10

09式を10式に代入

0.6（C_1^－0.4）［C_2^｛0.4－（－0.6）｝］＝（1＋r）×2/3［C_1^｛0.6－（－0.4）｝］（C_2^－0.4） ・・・11

11式を変形

C_2＝（1＋r）×（2/3）C_1・・・12

12式を変形

C_2＝（1＋r）（y－C_1）・・・13

13式を変形

（1＋r）×（2/3）C_1＝（1＋r）（y－C_1）・・・14

14式を変形

（2/3）C_1＝y－C_1・・・15

15式を変形

y＝（5/3）C_1・・・16

16式を変形

C_1＝（3/5）y・・・17

17式を13式に代入

C_2＝（1＋r）×2/3×（3/5）y・・・18

18式を変形

＝（1＋r）×（2/5）y・・・19（了）

メローネ：んで？logはいったいどこに出てくるのよ？
シラフェ：まあ、ちょっと待て。まずlogの微分のポイントを掴んでから。

（logx）’＝1/x・・・20

f（y（x））’＝f’（y）・g’（x）・・・21

メローネ：21式は積の公式じゃない。
シラフェ：そうだけど、まあ必要になるから紹介しただけよ・・・。さて、ラグランジュ式Ｌのlog版にいきますか。

効用関数Uを対数化して、

logU＝log（C_1^0.6）（C_2^0.4）・・・22

22式を変形

＝log（C_1^0.6）＋log（C_2^0.4）・・・23

23式を変形

＝0.6logC_1＋0.4logC_2・・・24

24をラグランジュ式Ｌに代入して

Ｌ＝0.6logC_1＋0.4logC_2＋λ｛（1＋r）（y－C_1）－C_2｝＝0・・・24

そんで、偏微分すると？
メローネ：そりゃ・・・

∂L/∂C_1＝0.6/C_1＋λ（1＋r）＝0・・・25

∂L/∂C_2＝0.4/C_2＋λ＝0・・・26

あれ、なんか簡単じゃない？

シラフェ：だから言ってるんじゃん・・・あんた食わず嫌い王決定戦でいいとこ行くわよ。
メローネ：は？優勝とかじゃないんだ・・・。

シラフェ：26式を変形して、

0.4/C_2＝－λ・・・27

25式を変形

0.6/C_1＝－λ（1＋r）・・・28

28式に27式を代入

0.6/C_1＝0.4/C_2（1＋r）・・・29

29式の両辺に（C_1）（C_2）を掛け、

0.6C_2＝0.4（C_1）（1＋r）・・・30

30式を変形

C_2＝（1＋r）（2/3）C_1・・・31

31式を変形

C_1＝（C_2）/（1＋r）×（3/2）・・・32（了）

メローネ：あっ、ほんとだ。logの方が簡単じゃん！
シラフェ：やれやれ、やっとわかったか・・・。
メローネ：そんでですね女将、まだやることが残っているんですけども。
シラフェ：一体何よ？
メローネ：リカードの・・・
シラフェ：リカードの等価定理？ははあ、はいはい・・・。

（第1期／第2期）
所得：y／0
政府支出：T/0
消費：C_1／C_2（貯蓄分で利子率rの利子が付く為、（1＋r）を乗じたSが初期支出に充当）

シラフェ：さて、Tの財源を埋める為に、いくつかプランを考えましょうか。

プランその1：税金を取る
税金：T/0
貯蓄：y－C_1－T／0

この場合のC_2＝（1＋r）（y－C_1－T）・・・33

プランその2：国債発行

国債B＝T
貯蓄：y－C_1－B／0
税金：0／（1＋r）B

この場合のC_2＝（1＋r）T＋（1＋r）（y－C_1－T）－B（1＋r）T・・・34

プラン3：税金を半分（T/2）、国債を半分（T/2）で賄う

貯蓄：y－C_1－T/2－T/2／0
税金：0／（1＋r）T/2

この場合のC_2＝T/2（1＋r）＋（1＋r）（y－C_1－T/2－T/2）－（1＋r）T/2・・・35

メローネ：あれ、33式も34式も35式も、中身は一緒じゃない。
シラフェ：そうだよ。今取ろうが将来取ろうが全く影響を及ぼさない、これがリカードの等価定理だから。

効用関数Uが

U＝log（C_1^0.5）（C_2^0.5）・・・36

36式を変形

＝0.5logC_1＋0.5logC_2・・・37

37式と33式をラグランジュ式Ｌに代入して

Ｌ＝0.5logC_1＋0.5logC_2＋λ｛（1＋r）（y－C_1）－C_2｝＝0・・・38

はい、偏微分して。
メローネ：はいはい・・・

∂L/∂C_1＝0.5/C_1＋λ（1＋r）＝0・・・38

∂L/∂C_2＝0.5/C_2＋λ＝0・・・39

39式を変形

－λ＝0.5/C_2・・・40

38式を変形

－λ（1＋r）＝0.5/C_1・・・41

40式を41式に代入

（0.5/C_2）（1＋r）＝0.5/C_1・・・42

42式の両辺に（C_1）（C_2）を掛け、

0.5C_1（1＋r）＝0.5C_2・・・43

43式を変形

C_1（1＋r）＝C_2・・・44

44式を変形

C_1＝C_2/（1＋r）・・・45

44式に33式を代入

C_1（1＋r）＝（1＋r）（y－C_1－T）・・・46

46式を変形

C_1＝y－C_1－T・・・47

47式を変形

2C_1＝y－T・・・48

48式を変形

C_1＝（y－T）/2・・・49

49式を45式に代入

（y－T）/2＝C_2/（1＋r）・・・50

（ちなみに）50式を変形すると

C_2＝（1＋r）（y－T）/2・・・51（了）

51式と33式の中身は同じなので、計算すると驚きの変形ができるね。

シラフェ：そうそう・・・って、他人のセリフまで奪っていくか、あんたは！

シラフェと学ぶレオンチェフ逆行列

『シラフェと学ぶレオンチェフ逆行列』

メローネ：なになに・・・ってねぇの！？
シラフェ：は？何がないの？
メローネ：ヴェキペディア（注）にレオンチェフ逆行列が載ってなかった・・・店長に産業連関分析についてやっとけって言われてるのに・・・。

注）Relativeの世界でのインターネット大百科。

シラフェ：図書館に行くという発想はないわけね、なるほど。まあ、そう難しいものでもないし、やっちゃいましょうか。
メローネ：だって学校通ってないし、そもそも市のはよくわかんないし・・・。

シラフェ：産業連関表っつうのは、1年間の取引を産業部門毎に纏めるワケなんだけど・・・まず縦の列に第1から第n（基本は17）の産業を割り振っていって・・・
メローネ：はいはい・・・
シラフェ：横列に、どの産業にどれだけ買われたか（中間需要）・・・例えば第1産業で100なら、第1産業のセル（ブロック）に100と書いて・・・
メローネ：はいはい・・・
シラフェ：そんで、書き終わったら、一番右のブロックを最終需要（Ｙ＝Ｃ＋Ｉ＋Ｇ、ＧＤＰ＝消費＋投資＋政府支出）の数字を書いて・・・
メローネ：中間需要の総和とはまた別物？
シラフェ：中間需要の総和と、最終需要を足したものは最終需要の隣（合計総産出額）ね。合計総産出額は中間需要セルの下にも同じ数字を書くわ。
メローネ：あれ？最終需要－中間需要分の差が出ちゃうよ。
シラフェ：差額は付加価値（賃金とか利潤とか）ね。一回、セルにしてみよう。

（第一産業と第一中間需要のセルにA_11と記入）
（第一産業と第二中間需要のセルにA_21と記入）
（第二産業と第一中間需要のセルにA_12と記入）
（第二産業と第二中間需要のセルにA_22と記入）

（第一産業の最終需要セルにF_1と記入）
（第一産業の総算出セルにX_1と記入）
（第二産業の最終需要セルにF_2と記入）
（第二産業の最終需要セルにX_2と記入）

（第一産業の付加価値セルにV_1と記入）
（第一産業の付加価値セルの下のセルにX_1と記入）
（第二産業の付加価値セルにV_2と記入）
（第二産業の付加価値セルの下のセルにX_2と記入）

メローネ：つまり、

A_11＋A_21＋F_1≡X_1

A_12＋A_22＋F_2≡X_2

V_1≡X_1－（A_11＋A_21）

V_2≡X_2－（A_12＋A_22）が言えるワケね。

シラフェ：そうゆうこと。もっと難しくいえば、「第一産業は、Ｘ_1の生産を行う為にＡ_11の第一産業品、Ａ_12の第二産業品を投入」して、「第二産業は、Ｘ_2の生産を行う為にＡ_21の第一産業品、Ａ_22の第二産業品を投入」したことになるわ。

メローネ：何言ってるかサッパリだけど、要は技術関係の話でしょ。
シラフェ：そんで、産出額と投入額は比例しますよ、と。まあ、「見做す」と言った方がいいか。

メローネ：ＡをそれぞれＸに投入するワケだから、Ａを適用するＸで割って・・・

（a_11≡A_11/X_1　a_21≡A_21/X_2
　a_12≡A_12/X_1　a_22≡A_22/X_2）

注）行列の表記がブログシートだと難しいので、こういう表記にしてます。

・・・ってな感じ（投入係数行列Ａ）？

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

（ベクトルと行列計算のルールの復習）

マスター（ヴィクティ）：行列計算を復習しましょう。たとえば・・・

（a　b　×（x
　c　d）　 y）

で計算してみましょう。左側の行列は左から右へ、右側の行列は上から下へ読んでいきます。ですから・・・

（ax＋by
　cx＋dy）

となります。

（a　b　c　×（x
　c　d　d）　 y
　　　　　　　z）
の場合、

（ax＋by＋cz
　dx＋ey＋fz）

になります。メローネが立てた投入係数行列Ａで試しに計算してみましょう。

（a_11　a_21　×　（X_1　＋（F_1　＝（X_1
　a_12　a_22）　　 X_2）　　F_2）　　X_2）

式を変形し、

（a_11X_1＋a_21X_2）＋（F_1　＝（X_1
　a_12X_1＋a_22X_2）　　F_2）　　X_2）

となります。ここで、

Ａ＝（a_11　a_21
　　　a_12　a_22）

Ｘ_vec＝（x_1
　　　x_2）

Ｆ_vec＝（F_1
　　　F_2）

とします（ベクトルは、太字で書きますが、わかりやすいようにvecと付記します）。上記式は、

ＡＸ_vec＋Ｆ_vec＝Ｘ_vecとなります。

わかりやすいように、単位行列（正方行列のうち対角成分（主対角線上の成分：行番号と列番号が同じもの）が1、かつ他の成分が0となる行列）を設定しましょう。

Ｉ＝（1　0
　　　0　1）

ＩＡ＝ＡＩ＝Ａ
ＩＸ_vec＝Ｘ_vec

と言うことがわかりますから、

ＡＸ_vec＋Ｆ_vec＝ＩＸ_vec
Ｆ_vec＝ＩＸ_vec－ＡＸ_vec
Ｆ_vec＝（Ｉ－Ａ）Ｘ_vec

になります。そして、ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉとなるような行列ＢをＡの逆行列Ａ^（－1）とするワケですね。たとえば、

（a　b　×　（x　y　＝　（1　0
　c　d）　　 z　w）　　　0　1）

は、

（a　b　　＝　　　　（x　y　
　c　d）^（－1）　　 z　w）
＝1/（ad－bc）×（d　－b
　　　　　　　　 －c　a）

になります。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

シラフェ：とゆうわけで、

Ｆ_vec＝（Ｉ－Ａ）Ｘ_vec

だから、

｛（Ｉ－Ａ）^（－1）｝Ｆ_vec＝Ｘ_vec

となって、産業連関の基本式になるわけね。

そんで、本題の（Ｉ－Ａ）^（－1）がレオンチェフ逆行列ね。

メローネ：んで、何を意味するの？

シラフェ：最終需要Ｆ_vecが、政府支出Ｇとかで政策的にいじる余地がある、ってことかな。要するに、Ａが分かってれば、全体で｛（Ｉ－Ａ）^（－1）｝Ｆ_vecだけの生産が行われるってことね。

メローネ：そうか、ヴェキで調べるよりか、よっぽど人に聞いた方が早かったわ・・・。
シラフェ：・・・その前に、まず図書館に行きなさい・・・。

シラフェと学ぶラグランジュ乗数法 その2

『シラフェと学ぶラグランジュ乗数法　その2』

メローネ：ラグランジュ乗数法を以前やったけど、なんであんなのでいいの？

シラフェ：話せば長くなるけど、黙って聞いてて。

☆f（x, y, z）に、（x_0, y_0, z_0）で極値があるとします。そして、g（x, y, z）＝0とします。

シラフェ：制約条件から、
g（x_0, y_0, z_0）＝0
と、
g（x_0＋dx, y_0＋dy, z_0＋dz）＝0
が成立する事がわかるわね。つまり、
g（x_0＋dx, y_0＋dy, z_0＋dz）－g（x_0, y_0, z_0）＝0
と言うことになるわ。

メローネ：はあ、それで？

シラフェ：極値点（x_0, y_0, z_0）の近傍では、

dg＝∂g/∂x・dx＋∂g/∂y・dy＋∂g/∂z・dz＝0

が成立するわね。変形して、

dz＝（∂g/∂x・dx＋∂g/∂y・dy）/（∂g/∂z）

になるわ。極値点（x_0, y_0, z_0）をf式に流用して、

df＝∂f/∂x・dx＋∂f/∂y・dy＋∂f/∂z・dz＝0

になるわね。dz＝（∂g/∂x・dx＋∂g/∂y・dy）/（∂g/∂z）を代入して、

df＝∂f/∂x・dx＋∂f/∂y・dy＋∂f/∂z・（∂g/∂x・dx＋∂g/∂y・dy）/（∂g/∂z）＝0

変形して、

＝［（∂f/∂x）－（∂f/∂z）｛（∂g/∂x）/（∂g/∂z）｝］dx＋［（∂f/∂y）－（∂f/∂z）｛（∂g/∂y）/（∂g/∂z）｝］dy＝0

（∂f/∂z）/（∂g/∂z）をλとして、

＝｛（∂f/∂x）－λ（∂g/∂x）｝dx＋｛（∂f/∂y）－λ（∂g/∂y）｝dy＝0

これが成立するには？

メローネ：んー・・・

｛（∂f/∂x）－λ（∂g/∂x）｝＝0
と、
｛（∂f/∂y）－λ（∂g/∂y）｝＝0
と、
｛（∂f/∂z）－λ（∂g/∂z）｝＝0（注）
が必要（真である）なんでしょ？

注）（∂f/∂z）/（∂g/∂z）＝λ
⇔（∂f/∂z）＝λ（∂g/∂z）
⇔｛（∂f/∂z）－λ（∂g/∂z）｝＝0

シラフェ：そうよ。たとえば、
maxU（C_1, C_2）
s.t.g（C_1, C_2）＝0
の場合はどうなるかしら。

メローネ：まずラグランジュ関数Ｌは・・・

L＝U（C_1, C_2）－λ｛g（C_1, C_2）｝＝0

として、変数を偏微分すると、

∂L/∂C_1＝（∂U/C_2）－λ（∂g/C_1）＝0

∂L/∂C_2＝（∂U/C_1）－λ（∂g/C_2）＝0

になるから、偏微分条件を解C_1、C_2が満たしているわけでしょ。
あとは、λで偏微分して、

∂L/∂λ＝g（C_1, C_2）＝0

を出せば、求める事が出来るね。

シラフェ：上出来よ、お疲れさま！

補講 指数対数の微分

『補講　マスターと学ぶ指数関数の微分』

マスター：まず、指数関数を立てましょう。

f（x）＝a^x（a＞0）

微分の定義は、

f’（x）＝lim（h→0）｛f（x＋h）－f（x）｝/h

ですね。定義を変形しましょう。

＝lim（h→0）｛a^（x＋h）－a^x｝/h

＝lim（h→0）｛a^x（a^h－1）｝/h

＝a^x・lim（h→0）｛a^（h－1）｝/h

＝a^x・lim（h→0）｛a^（0＋h）－a^0｝/h

lim（h→0）｛a^（0＋h）－a^0｝/hの部分は、y＝a^xのx＝0に於ける接線の傾きになります。
そこで、接線の傾きが1になるようなaの値をeで表してみましょう。

f（x）＝e^x

f’（x）＝lim（h→0）｛e^（x＋h）－e^x｝/h

＝e^x・lim（h→0）｛e^（h－1）｝/h

＝e^x・lim（h→0）｛e^（0＋h）－e^0｝/h

＝e^x＝1

故に、（e^x）’＝e^xとなります。

f（x）＝a^xの場合、a＝e・log_e・aになりますから（本当は、指数はlogではなく、lnを使いたいんですけども。logは自然対数（基本的には底が10）で、lnは底がe（ネイピア数）となります）

f（x）＝（e・log_a）^x

f（x）＝e^x・log_a

ここで、合成関数の微分公式を使いましょう。

（a^x）’＝ （e^x・log_a）’
＝e^x・log_a・log_a
＝a^x・log_a

y＝e^xの場合、yはeのx乗ですから、x＝logyとなります（逆関数）。逆関数を微分しましょう。y＝f（x）の微分dy/dxに対し、x＝f^（－1）（y）の微分dx/dyは丁度逆数になります。

y＝e^x
y’＝dy/dx＝e^x

y＝logx
y’＝1/e^y＝1/x

ちなみに、y＝log_a・xの場合、
y＝logx/loga＝1/loga・logx
となりますから、
y’＝1/loga・1/x＝1/xloga
となります。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Y＝AK^0.3・L^0.7の場合を考えてみましょう。

ネイピア対数（ln）を取り、

lnY＝lnAK^0.3・L^0.7

＝lnA＋lnK^0.3＋lnL^0.7

＝lnA＋0.3lnK＋0.7lnL

すべての変数が時間に依存すると考え、

Y＝Y（t）、A＝A（t）、K＝K（t）、L＝L（t）

とします。両辺をtで微分します。

1/Y・dY/dt＝1/A・dA/dt＋0.3/K・dK/dt＋0.7/L・dL/dt

（dY/dt）/Y＝（dA/dt）/A＋（0.3dK/dt）/K＋（0.7dL/dt）/L

即ち、Ｙの成長率＝Ａの成長率＋0.3×Ｋの成長率＋0.7×Ｌの成長率となります。

ソロー・モデル解説

『マスターと学ぶ経済学（ソロー・モデル編）』

〈新古典派成長モデル（ソロー・モデル）〉

☆完全雇用＆完全稼働の条件で、1次同次の生産関数を考えます。k＝K/Lはどこに落ち着きますか？
注）K：資本ストック、L：労働人口

メローネ：・・・1次同次ってなに？
シラフェ：・・・そこからなの・・・。

マスター：一次同次は、指数の部分を足すと1になるような形ね。たとえば・・・X＝K^δ・L^（1－δ）は、Kの指数とLの指数を足すと1になるでしょ？

シラフェ：まず、生産関数をY＝F（K,L）として、一次同次条件を付加して、以下の式を立てよう。

Y＝定数（技術水準）・K^δ・L^（1－δ）

マスター：K、Lと時間と共に変わっていくものなので、時間（t）に依存する式として書き換えられます。

K＝K（t）
L＝L（t）

メローネ：式を書き換えると、

k（t）＝K（t）/L（t）

になるけど、どうするの？

マスター：・・・そうか、メローネは微分の発想がないのね・・・。時間が動いても、tで微分すればkが変わらないので、収束させると

dk/dt＝0

となるはずだよ。

シラフェ：tで微分すると、

dk/dt＝0
＝d（K/L）/dt
＝（dk/dt・L－K・dL/dt）/L^2
＝dk/dt・1/L－K/L・（dL/dt）/L

注）（dL/dt）/L＝n（労働人口成長率）

になるわね。

メローネ：これで終わり？
マスター：・・・あんたは気が早すぎるのよ・・・。次は有効需要の原理を使います。

Y＝C＋I
C＝cY
（1－c）Y＝I

注）1－c：限界消費性向

シラフェ：有効需要の原理と生産関数を繋げると、

I＝ΔK＝dK/dt
or I－減価償却（η（償却率）K）＝ΔK＝dK/dt

となるわね。

マスター：式を変形しましょう。

dK/dt・1/L－kn＝0

I/L－nk＝0 or （I－ηK）/L－nk＝0

sY/L－nk＝0 or （sY－ηK）/L－nk＝0

or sY/L－ηk－nk＝0

に行き着きます。ここで、生産関数が一次同次という条件に戻ると、F（k,1）となるとき、どういう式になる？

メローネ：そりゃLで割るんだから・・・

Y/L＝F（K/L,L/L）でしょ。

シラフェ：ちなみに、

Y≡Y/L, f（k）≡f（k,1）とすると、Y/L＝y＝f（k）となるよ。

マスター：収束先の条件式は、

sf（k）＝nk or sf（k）＝（η＋n）kになります。注意しなければならないのは、収穫逓減ですね。収穫逓減って、なーんだ？

メローネ：なにその若作り？
マスター：・・・ちょっと黙ってて・・・
メローネ：ちょ、やめ・・・

シラフェ：KやLだけ増えても、Yが同様の割合で増えない事よ。
一応、本来は1次同次だから増えてもいいけど、この想定を入れると、一次関数じゃなくて、なだらかなカーブを描くようになるのね。
だから、どちらにしても、nkか（η＋n）kの一次関数とsf（k）のなだらかなカーブが重なるところが、求めるべきkと言うことになるわね。

マスター：・・・おつかれさま。
メローネ：・・・うぅ。
シラフェ：お、おつかれ・・・。

・・・・・・・・・・・・・・・

〈練習問題編〉

（1）集計的生産関数がY＝4K^0.5・L^0.5、労働人口成長率が2％、消費関数がC＝0.8Yで、Y＝C＋Iとなる様に決まり、完全雇用かつI＝dk/dtと見做せる場合、k≡K/L（k≠0）はどの様な値に収束しますか？

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Y＝C＋I＝0.8Y＋I
0.2Y＝I（dk/dt）

dk/dt＝d（K/L）/dt
＝（dK/dt・L－K・dL/dt）/L^2
＝I/L－K/L・（dL/dt）/L
＝0.2Y/L－0.02k

Y/L＝（4K^0.5・L^0.5）/L
＝4K^0.5/L^0.5
＝4k^0.5

dk/dt＝0の条件

0.2×4k^0.5－0.02k＝0
0.8k^0.5＝0.02k

両辺を0.02kで割り、

40＝k^0.5

K＝1,600

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

（2）Y＝2K^0.6・L^0.4、労働人口成長率が5％、C＝0.6Y、償却率3％の時、I－償却分＝dK/dtとして、kの収束値はいくらになりますか？初期値として、K＞0の仮定を置くこと。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Y＝C＋I＝0.6Y＋I
0.4Y＝I

dk/dt＝（dK/dt）/L－k・（dL/dt）/L

＝0.6（I－0.03K）/L－0.05k

Y/L＝（2K^0.6・L^0.4）/L＝2k^0.6
＝0.6（0.4Y－0.03K）/L－0.05k

0.6×0.4×2k^0.6－0.018k－0.05k＝0

0.48k^0.6＝0.068k

480/68＝k^（2/5）

k＝（120/17）^（5/2）