正多面体が５種類しかないことの証明

　各面が正ｐ角形であり、頂点に集まる面の数がｑであるとき、次の式が成り立つ。

　　　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／２＞１・・・（１）

　ｐ、ｑが共に３以上であることから、整数ｐ、ｑの組は・・・

　（３，３）（３，４）（４，３）（３，５）（５，３）の５組しかない。

　なぜ式（１）が成り立つかというと・・・

　正ｐ角形の外角の和が２πなので、内角の和は・・・

　　　　（１－２／ｐ）π

　である。

　頂点にｑ個の面が集まっている場合、この内角のｑ倍は２πより小さくなくてはならない。すなわち・・・

　　　　（１－２／ｐ）πｑ＜２π

　この式を整理すると次のようになる。

　　　　（ｐ－２）（ｑ－２）＞４・・・（２）

　式（１）と式（２）は同じものである。

　証明終わり。