へもへも日記 blog版

へもへも日記の へもへも は本上まなみさんの「ほんじょの へもへも通信」から頂きました。

理系の暇つぶし(ホイール重量に関する考察)

2012-11-14 22:28:14 | 自転車
ホイールの重さ、特にリム、ハブの重さがどのように効果があるのかは感覚的なものばかりで、原理の点から真面目に論じてるところを見たことがないので、ちょいと計算してみました。

まず、簡単にするために以下のようにします
ホイール以外の自転車&ライダーの重量 M
ホイールの半径 R
ハブの重量はなしでリムのみとして、その重量 m

このとき、ライダーがクランク、ギアを介してホイールに与えるモーメント F
ホイールが路面から与えられる抗力 N

ホイールの回転に関しての運動方程式は、
mR^2dw/dt=F-NR   (1)

w:ホイールの角速度

ホイールが路面から与えられる効力は、ライダーを含めた全体に働く力でもあるので
その運動方程式は

(M+m)dv/dt=N-D   (2)

D:自転車全体に働く、空気抵抗等々の抗力
v:自転車の速度

速度と角速度の関係は v=Rw ですので、(1)+(2)xR をすると

mRdv/dt + (M+m)Rdv/dt = F-NR + NR-DR
(M+2m)Rdv/dt = F-DR
dv/dt = [F-DR]/R(M+2m)

dv/dtは加速度です。これを大きくするためには
F すなわちライダーの出力を大きくする
D 空気抵抗等々の抗力を小さくする
R ホイール半径を小さくする(ギア比が高くなるのと同じです)
M 重量を軽くする
m リム重量を軽くする

ここで注目はM,mの関係
同じ100gを軽くするならば、リム(ホイールの回転部分)を軽くするほうが2倍効きます。

では次に、Gokisoの様な重いハブを使ったときにどうなるか?

ハブの回転部分の重量 h
ハブの半径 rR
r: ハブの半径のホイール半径に対する比 当然ながら r:0~1

ホイールの回転に関しての運動方程式は、
[mR^2+h(rR)^2]dw/dt=F-NR   (3)

ライダーと自転車全体の運動方程式は
(M+m+h)dv/dt=N-D   (4)

(3)+(4)xR をすると
[mR+hRr^2]dv/dt + (M+m+h)Rdv/dt = F-NR + NR-DR
[M+2m+(1+r^2)h]Rdv/dt = F-DR
dv/dt= [F-DR]/R[M+2m+(1+r^2)h]  (5)

もちろん、ハブ重量が軽いに越したことがありませんが、問題はhの前のr^2の項
700Cのホイールで
ハブ半径:約3センチ
リム(またはタイヤ)の半径:約33センチ
ということは
r=3/33=1/11
r^2=1/121

つまり、リム重量1gの増減と同じ効果を得るには、ハブ重量が121g必要になります
なので、ハブ、特に回転部分の重量はリムほどは効きません
多少、重くなるくらいなら、回転がいいものを使うほうが良い、という結果になります
Gokisoは重くてもそれ以上の効果がある、と言っていいかと


次に、ホイールバランスを取るためのウェイトに関して

(5)式において、h,rはハブの重量や半径比でしたが、
これを、そのままウェイトの重量と、ウェイトを取り付ける場所のホイール半径に対する比として見てみます

ホイールのバランスが崩れている場合、
a:回転中心に対しての重心のズレ
m:ホイールの重量
に対して
hrR=ma  (6)
になるように、h,rを決める必要があります
(6)式から
hR=ma/r

なので、これを(5)式に代入して

dv/dt=F/R[M+2m+(1+r^2)h]
dv/dt=F/[MR+2mR+ma(r+1/r)]  (7)

(7)式で変えられるのはウェイトを取り付ける場所の、ホイール半径に対する比 r だけなので、

f(r)=r+1/r
が小さくなるようにすると、加速がよくなります

f(r)をrで微分しましょう

df(r)/dr=1-1/r^2

rはホイール径に対する比なので、 r:0~1

つまり、f(r)の微分は常にマイナス
r=1のときにのみ0になります
ということは、r=1のときにf(r)は最少になります

なので、バランスウェイトをつける場合はr=1
つまり、リムに付けるのが同じ出力であれば最大の加速度を得られます


ということで、暇つぶしでした
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