マッキーの一問必答（３）：整数の組合せに注目して解く

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　「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む問題を取り上げ、ポイントを解説します。

　今日取り上げる問題は、整数の性質や計算をしっかりと学習している受験生にとって、比較的簡単に解ける問題です。けれども、こうした分野の学習を漠然と行っている子どもにとっては、厄介な問題でもあります。出題が減少傾向だった「数の性質」に関わる問題が、近年は多く出題されています。しっかりと学習しておきましょう。



【今春の入試問題】　（分数の表記は、実際の入試問題と異なります。）

　このシリーズで取り上げる今春の中学入試問題は、私の解答・解説を見ずに、まずは自力で解いてみることをお勧めします。大人には頭の体操になりますし、また受験生は、算数に対する興味や面白さが、倍増するはずです！


１．共立女子中学校

１／１００，２／１００，３／１００，・・・・・・９９／１００，１００／１００の中で、約分できない分数は何個ありますか。

２．早稲田中学校

次の式を計算したとき、小数第７位の数はいくつですか。

３／１６÷（５×５×５×５×５×５×５）

３．青陵中学校

２，４，５を１回ずつ使ってできる３けたのすべての整数の積は、一の位から０が□個続いて並びます。



【解答と理解しておくべきポイント】

　上の三つの問題とも、整数の性質および数の規則を理解していれば、比較的簡単に解ける問題です。その規則とは、１０を素因数分解すると、２×５と表すことができるということです。

４×１５でも良いんじゃないですか。
４×１５＝（２×２）×（３×５）＝２×３×（２×５）＝６×１０＝６０
このように、１０すなわち後ろに０が付くのは、２×５という因数の積あるからです。

　では、今春の共立の問題から考えてみましょう。分数を約分するということは、分母・分子を同じ数で割ることです。それは、分母と分子に共通の因数があるということでもあります。

　分母の１００を素因数分解すると、１００＝２×２×５×５となり、分子に２および５の因数がある場合、約分できることを表しています。

　１から１００までの整数で、２の倍数および５の倍数を除いた個数が、求める個数となります。こうした問題は、集合の問題として取り扱われる基本問題でもあります。

　よってベン図を描く（小４で学習）と分かりやすいのですが、２の倍数の個数と５の倍数の個数を加えてしまうと、２と５の公倍数、すなわち１０の倍数は２度数えてしまうことになります。例えば、１０は２の倍数として１回数え、５の倍数として再び数えてしまうことになります。

よって求める個数は、
１から１００までの整数の数－（２の倍数の数＋５の倍数の数－１０の倍数の数）となります。

２の倍数の数、１００÷２＝５０
５の倍数の数、１００÷５＝２０
１０の倍数の数、１００÷１０＝１０

よって求める分数の個数は、１００－（５０＋２０－１０）＝４０（個）


次は、早稲田中の問題です。問題文に、「次の式を計算したとき～」と書いてあるので、このまま計算するのでしょうか？やはり工夫して解かないと、とんでもないことになりそうです。

与えられた３／１６÷（５×５×５×５×５×５×５）の式のわり算の部分は、書き換えれば分母１６にかけることになります。
よって、３／１６÷（５×５×５×５×５×５×５）＝３／１６×５×５×５×５×５×５×５

ここで１６が２を四個かけた数であることに気づく必要があります。そこで分母を整理すると、
１６×５×５×５×５×５×５×５＝２×２×２×２×５×５×５×５×５×５×５
＝（２×５）×（２×５）×（２×５）×（２×５）×５×５×５
＝１０×１０×１０×１０×１２５　（２×５＝１０はしっかり理解しておく！）

このまま計算しても良いのですが、もう少し工夫する力が必要です。
３／１０×１０×１０×１０×１２５
＝３×８／１０×１０×１０×１０×１２５×８　（分母・分子に８をかける）
＝２４／１０×１０×１０×１０×１０００　（１２５×８＝１０００は基本的数値関係）
＝２４／１０００００００
＝０．０００００２４

よって求める小数第７位の数値は、筆算することなく４となります。


最後は、青陵の問題です。
２，４，５を１回ずつ使ってできる３けたのすべての整数の積を考えます。順列の問題ですが、すべての場合の数をもとめる必要はありませんが、今回はすべて求めてみましょう。

小学生は、樹形図を使って小さい順に求めます。
２４５，２５４，４２５，４５２，５２４，５４２の６通りとなります。
この三けたの数値をかけて、０が幾つ並ぶか計算するの？
電卓の持ち込みは、無論できません！
最初の一行題に、そんな時間をかけて良いはずはありません。

この６個の数値をすべて素因数分解して、先ほどから指摘している２×５＝１０が幾つできるかを考えればよいわけです。ところで、素因数分解すると、２という因数はとても多く出てくることは分かるでしょう。

そこで、２はいっぱいあるのだから、５という因数の数で１０が何個できるか分かるということに、気づいたでしょうか。

５の因数が入っている数は、２４５と４２５です。
２４５＝５×７×７
４２５＝５×５×１７

よって、２４５×２５４×４２５×４５２×５２４×５４２を素因数分解すると、その中に５は３つしか存在しません。

よって、求める０は、一の位から３個続いて並んでいることが分かります。



　今日紹介した問題は、いずれも筆算などやっていたら、とんでもない大きな数値になったり、大変な時間を要することになります。入試問題の最初に出てくる一行題に、そんな時間をかける問題を出題するほど嫌みな学校は、そう多くはありません！

　日頃の計算練習は、自分が電卓と化して答えを出すだけでは、問題があります。もう少し論理的な考えを取り入れて、数値の相互関係を理解しながら、工夫して問題を解くことが必要です。そうした練習をしている受験生にとっては、今日の問題は、有り難くゲットできる問題と言えるでしょう。


【画像】
一番上が、拾った落ち葉。偶然にできたのか、あるいは誰かの作品か？
二番目は、コスモス。
三番目は、セイタカアワダチソウです。どんな場所にも繁茂し、問題ある帰化植物です。

【セイタカアワダチソウ】
　セイタカアワダチソウ（背高泡立草）は、キク科アキノキリンソウ属の多年草である。北アメリカ原産で、日本では切り花用の観賞植物として導入された帰化植物（外来種）であり、ススキなどの在来種と競合する。外来生物法により要注意外来生物に指定されているほか、日本生態学会によって日本の侵略的外来種ワースト１００にも選ばれている。