三角形の合同 と 円周角の定理 が融合した問題

　　　　　問題：図のように、線分AB を直径とする半円O があり、弧AB 上に点C をとり、△ABC をつくります。
　　　　　　　　　ただし、AC > BC　とします。点C を中心として、線分CB を半径とする円C をかき、弧AC との
　　　　　　　　　交点を D とします。また、線分AB を点 B の方へ延長した直線上に AD = BE　となる点 E を
　　　　　　　　　とります。このとき、△CAE は二等辺三角形であることを次のように証明しました。
　　　　　　　　　次の問いに答えなさい。

　　　　　　　　

　　　証　明

　　　　図の点 B と点 D ,　点 C と点 D　をそれぞれ結ぶ
　　　　△ACD と △ECB　において、
　　　　(　ア　) に対する円周角は等しいので、
　　　　∠BAC = ∠BDC　――　①
　　　　線分AB は直径であるから、
　　　　∠ACB = ∠ADB = 90°　――　②
　　　　∠CBE は△ABC の頂点 B における (　イ　)　なので、
　　　　∠CBE = ∠ACB + ∠BAC　――　③
　　　　①②③ より、
　　　　∠CBE = ∠BDC + ∠ADB
　　　　= ∠CDA ―― ④

　　　　(　ウ　)


　　　問 1　ア、イ　に当てはまることばや記号を答えなさい。


　　　問 2　ウ　には証明の続きをかいて、証明を完成させなさい。ただし、① ～ ④　で示された関係を、
　　　　　　　① ～ ④　の番号を使って述べてもよい。　　　



　基礎固めが一通りできたなら、なるべく入試に対応した「融合問題」に挑戦するようにします。


1つの項目に特化したものだけでは不足です。


入試直前に短期間で修得できる性質のものではないので、


日ごろから少しずつこなすような計画を立てます。

　　　　　　　

　解　答

　　問 1　ア　弧BC　　イ　外角

　　問 2　ウ：　

　　　仮定より、AD = EB　――　⑤
　　　線分CD は円 C の半径に当たるので、
　　　CD = CB　――　⑥
　　　④⑤⑥ より、
　　　　2辺とその間の角がそれぞれ等しい2つの三角形は合同であるから、
　　　△ACD ≡ △ECB　――　⑦

　　　　合同な2つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので、
　　　∠AC = EC
　　　よって、2辺の長さが等しい三角形は二等辺三角形であるから、
　　　△CAE　は二等辺三角形である　・・・　証明終わり

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☆　中学生英語・数学［基礎固め］問題集　　　　

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