1年生課程からは「空間図形」、2年生課程からは「連立方程式」の復習問題です。
問題1
（1） ア イ ウ エ （2） イ オ （3） 72 cm3
（1） 平面がただ1つに決まる条件は1直線上にない3つの点が決まること。
この3点が決まれば平面の基本となる三角形ができます
ア 平行な2直線の一方に2点A, B をとり、もう一方の直線上に別の1点C をとれば三角形ABC ができる
イ 2つの直線の交わる点をA, 一方の直線上に別の1点B をとり、もう一方の直線上の A 以外の部分に
点C をとれば三角形ABC ができる
ウ 2つの直線の一方に2点A, B をとり、もう一方の直線上に別の1点C をとれば三角形ABC ができる
エ 1直線上にない3つの点の2点を結べば1つの直線になり、別のもう1点はその直線上にない点になるから、
ア～ウと同じこと
オ ア～エのように、1直線上にない3点で1つの平面が決まるが、この場合、残りの1点がその平面内にあれば平面は
決まるが、平面の外にある場合、4点では平面は決まらない
（2） 図1のような立体を考えます
ア 直線AB // 面EFGH、直線AB // 面CDHG → 面EFGH ⊥ 面CDHG
イ 面EFGH ⊥ 直線AE、面EFGH ⊥ 直線BF → 直線AE // 直線BF
ウ 直線AB ⊥ 直線AD、直線AB ⊥ 直線AE → 直線AD ⊥ 直線AE
エ 面EFGH ⊥ 面AEHD、面EFGH ⊥ 面AEFB → 面AEHD ⊥ 面AEFB
オ 直線AE ⊥ 面EFGH、直線AE ⊥ 面ABCD → 面EFGH // 面ABCD
カ 面ABCD上にある直線AB について、
AB // EF，AB // HG であるが、EH，FG とはねじれの位置にある
（3）
四面体B-DFG の体積＝立方体ABCD-EFGH の体積
- （三角錐A-BDE + 三角錐F-BEG + 三角錐C-BDG + 三角錐H-DEG）
の式で求めることができる
立方体 ABCD の体積 = 6 × 6 × 6 = 216 (cm3) ―― ①
4つの三角錐の体積は等しく、1つの三角錐の体積は、
三角錐の体積 = 1/3 × 1/2 × 6 × 6 × 6 = 1/6 × 6 × 36 = 36 (cm3) ―― ②
①②より、
四面体の体積 = 216 - 4 × 36 = 216 - 144 = 72 (cm3)
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問題2
（1） ア x = 2, y = -1 イ x = -12, y = -3 ウ x = 1, y = 1/2
（2） 生徒の人数 42人 リンゴの個数 258個 柿の個数 144個
（1） ア x の係数が「1」なので、上の式を x についての式に直し
x = 6 + 4y として、代入法で解きます
→ 3(6 + 4y) + y = 5 より 18 + 12y + y = 5
13y = 5 - 18 = -13 y = -1
x - 4 × (-1) = 6 x + 4 = 6 x = 6 - 4 = 2
∴ (x, y) = (2, -1)
イ 上の式の両辺に「6」、下の式の両辺「12」をそれぞれ掛けて分数を含まない式に直します
その後、直した方程式を代入法で解きます
ウ 分数式に「規則性」を見つけだし、文字でおきかえる工夫をします
（2） 1個 280g のりんご x 個、 1個 140g の柿 y 個 をそれぞれ配るものとします
「280g のリンゴと 140g の柿を合わせて 92.4kg を分け与える」
を等式で表す場合、まず、グラムをキログラムに直します
0.28x + 0.14y = 92.4 ―― ①
もう1つの数量関係、
「生徒全員にりんごを6個ずつ配ると6個余り、 柿を4個ずつ配ると24個足りなくなる」
について、すでに x と y は決まっているので、これらを利用するには工夫が必要になります。
このような場合、数量関係を表す文に適当な数をあてはめると理解しやすくなります。
たとえば、クラスの生徒10人にりんごを6個ずつ配ると6個余る場合
10 × 6 + 6 = 66 = りんごの個数 となり、
(66 - 6) ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10 （人）
のような関係式で表すことができます。同じく、柿を4個ずつ配ると24個足りなくなる場合
10 × 4 - 24 = 16 = 柿の個数 となるので
(16 + 24) ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10 （人）
のような式に表せます。このことから、
方程式 (x - 6) ÷ 6 = (y + 24) ÷ 4 ―― ② が成り立つので、
連立方程式①②を解き、
0.28x + 0.14y = 92.4 を整数の式に直して
28x + 14y = 9240 ―― ①'
(x - 6) ÷ 6 = (y + 24) ÷ 4 で、分母の 6，4 をはぶいて
2(x - 6) - 3(y + 24) = 0 2x - 12 - 3y - 72 = 0
2x - 3y = 84 ―― ②'
2つの式の係数をそろえて加減法で解き
28x + 14y = 9240
28x - 42y = 1176
56y = 8064 y = 144
2x - 3 × 144 = 84
2x - 432 = 84 2x = 84 + 432 = 516 x = 258
②より、
(258 - 6) ÷ 6 = 42 (144 + 24) ÷ 4 = 42
答 え： 生徒の数 42人
リンゴの個数 258個 柿の個数 144個
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