正方形の７等分。

以前書いた７の７乗の７乗の…。といっしょに『高校への数学』の裏に載っていた問題について。

問題の概要は以下。

正方形をコンパスを使わずに二点を結ぶ直線を引くだけで7等分する方法を求めよ

実はですね、自分はこれが解けなかったんですよ。
コンパスを使わない、ということは、線分を２等分することさえままならないんですよね。


もちろん、その正方形が折り紙で、折ることが出来る、というのであれば、２n等分することが出来るので、以前に（というか中学生のときに）自分が発見していた「折るだけで（＝２等分と直線を引くという操作のみで）３等分出来る」（後述）という方法を用いて、まず３等分し、次にそれを２等分することで６等分し、先の３等分する方法と同等のことをすれば７等分することが出来るんですよ。

けれど、これじゃたぶんダメなんですよね。
おそらく、正方形の中心と、どこか１つの頂点から任意定数aの長さの点を取り、有限回線を引くという作業をすることでこの任意定数aをなくすことが出来ないといけないわけです。
バイトの合間に喫茶店にこもって２～３時間この任意定数のaをなくすために連立方程式を解きまくった（※座標軸に正方形を入れて計算していたので）のですが、結局aはなくならず、解くのを断念してしまいました。

そしたら、ネットは広いですねぇ。
同じ問題を質問している人がいて、しかも解いている人までいる！
以下、解答。

「直線○△と直線●▲の交点を□とする」ことを
「□=○△×●▲」と表します。
正方形ABCDにおいて、
(1) O=AC×BD
(2) AB上の適当な場所に点Eをとる。
　（A寄りに取った方が作図しやすい）
(3) F=CE×DA, G=ED×AC
(4) H=FG×CD, I=HO×AB
　（HはCDの中点, IはABの中点）
(5) J=ID×AC, K=HJ×AB（KはAIの中点）
(6) L=KC×BH, M=AL×BC（MはBCを6：1に内分する）
(7) N=MD×IH, P=CN×AD（PはADを6：1に内分する）
(8) Q=MP×IH（長方形PMCDは正方形ABCDの1/7）
(9) R=DQ×BC, S=CQ×AD, T=SR×IH
(10) U=PT×BC, V=MT×AD
(11) m=MO×AD, r=RO×AD, u=UO×AD
(12) p=PO×BC, s=SO×BC, v=VO×BC
これでpm,sr,vu,UV,RS,MPにより7等分されます。
図は雑ですがこんな感じ
こちらより引用（Googleのキャッシュ）

いや、驚きましたよ。
まだこれで大丈夫なのかの検証はしてないんですけれど、たぶんあっているのでしょう。（後で検証したものを下に書きます。）
それにしても、線を正方形の外側まで伸ばす、というのは盲点。
最初に折る方法から考えていたせいか、「正方形＝折り紙」的な先入観が入ってしまって、外側まで線を引くというのはまったく考えていませんでした。
やはり数学において先入観が入ってしまうとろくなことがありませんね。

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＝折るだけで長方形の紙を３等分する方法について＝
（時間がないので証明などはあとで書きます。）
長方形ABCDにおいて、ABの中点MとCDの中点Nを折ることで作図します。
次に、点Aと点C、点Dと点Mを結ぶように直線を引きます。
その交点をPとし、Pを通るようにABまたはADに平行になるように紙を折れば、３等分されています。
（より厳密にしたければ、点Bと点D、点Aと点Nを結ぶように直線を引き、その交点をQとし、直線PQを引けば、しっかりとADと平行になるようになります。）