最近の授業から

①t：(1－t)と比を設定するのは、3：7ではなく、0．3：0．7と設定しているということです。
②yの最小値8だからといって、値域がy≧8であるというのは安易です。8以上の「すべての」値をとるかの検証が必要です。
③(x+y)＾2＝x＾2＋2xy＋y＾2…(＊)
の両辺を、yを固定してxで微分しても等号は成り立ちます。なぜyを固定してよいのでしょうか？以下、高校範囲で理解するための説明です。
(＊)は任意の(すべての)x,yについて成り立ちます。よって、例えば
(x+3)＾2＝x＾2＋2x・3＋3＾2…（ア）
(x+4)＾2＝x＾2＋2x・4＋4＾2…（イ）
のようにyをある値に「決めて」もそれぞれについて(＊)が成り立ち、(ア)、(イ)ともに両辺をxで微分しても等号が成り立ちます。よって、それぞれの数字(上の例では3と4)をyに戻すことが出来ます。

『数研通信』76 号

友人の栃折くんが『数研通信』76号に『「nと2nの間に素数がある」の証明を考える』という論文を発表しました。インターネットでも公開されています。

絶対値と不等式

以下、文字は実数とします。
｜a｜＜b
と同値な条件は
－b＜a＜b
です。
これはbが0以下の数のときでも成り立ちます。
例えば、
｜a｜＜－3
⇔－(－3)＜a＜－3
⇔aは存在しない
は正しい論理です。

なお、話は変わりますが
｜a｜＜－3⇒a＝1
も正しい論理です。対偶を考えることで実感がわくでしょう。

ガウス・グリーンの定理

xy平面上において、tについての関数x(t),y(t)は微分可能でその導関数は連続であるとする。
t=αからt=βまで、tの増加とともにP(x(t),y(t))は原点Oの回りを左回りに回る。
このとき、t=αからt=βまで線分OPが掃く面積Sは、
　　　S=∫(1/2)(xy´-yx´)dx
で与えられる。(積分区間の下端はαで上端はβ)

左回りかどうかは、OPの長さは関係ありません。OPと、x軸の正の向きとのなす角にのみよるものです。すなわち、OPの傾きをtの関数とみたとき、増加するか減少するかを調べればよいということになります。

なお、y=x^2とy=xで囲まれた部分の面積も実はガウス・グリーンの定理により求まります。
y=x^2すなわちx=t,y=t^2上の点Pについて、線分OPがt=0からt=1までに掃く面積が求める面積そのものである(ちゃんとy=xより左上の部分は除かれています)ことから、ガウス・グリーンの定理が適用できます。第一象限では左回りであることもOPの傾きがtであることから確認できます。

●●できないか考える

「●●できないか考える」という場合、●●することが可能かどうか検討するのに「ない」という表現を使うのは不思議ですね。