2011年中学入試問題・渋谷教育学園幕張中２番・解説

ここではチャート自体を表記するのが難しいので、式のみでの説明となってしまいます。

（問い１）にも（問い２）にも使えるように、初めのＡ、Ｂ、Ｃの袋に入れた個数をそれぞれ〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕とします。
また（２）の操作でＡの袋からＢの袋に移す個数を【１】とします。

それぞれの袋の個数の変化を示します。

Ａの袋
〔Ａ〕
　↓（２）の操作で【１】がＡからＢへ移る。
〔Ａ〕－【１】
　↓（４）の操作で【４】がＣからＡへ移る。
〔Ａ〕＋【３】

Ｂの袋
〔Ｂ〕
　↓（２）の操作で【１】がＡからＢへ移る。
〔Ｂ〕＋【１】
　↓（３）の操作で【２】がＢからＣへ移る。
〔Ｂ〕－【１】

Ｃの袋
〔Ｃ〕
　↓（３）の操作で【２】がＢからＣへ移る。
〔Ｃ〕＋【２】
　↓（４）の操作で【４】がＣからＡへ移る
〔Ｃ〕－【２】

各袋の最後の個数は次の通りです。

Ａの袋→〔Ａ〕＋【３】
Ｂの袋→〔Ｂ〕－【１】
Ｃの袋→〔Ｃ〕－【２】

それではまず（問い１）について考えましょう。

初めの個数は同じ（〔Ａ〕＝〔Ｂ〕＝〔Ｃ〕）ですから、差がもっとも大きくなる場合はＡの袋とＣの袋の差がもっとも大きくなる場合です。
そのときの差は【５】です。
もっとも少なくなるＣの最後の個数を０としてみます。
もっとも多くなるＡの最後の個数をなるべく大きくするためには〔Ａ〕を最大にします。
〔Ａ〕＝〔Ｂ〕＝〔Ｃ〕を忘れないでください。
２００÷３＝６６余り２ですから、〔Ａ〕＝６６となります。
このとき〔Ｃ〕－【２】＝０としてありますから、【２】＝６６
つまり
【１】＝３３となります。

これを各袋の変化にあてはめてみると次のようになります。

Ａの袋
６６
　↓
３３
　↓
１６５

Ｂの袋
６６
　↓
９９
　↓
３３

Ｃの袋
６６
　↓
１３２
　↓
０

どこにもおかしな数字が出てきませんからこれが個数の差がもっとも大きくなる場合と考えられます。
（答え）１６５個


今度は（問い２）について考えます。

最後の個数が同じなので次の式が成り立ちます。
〔Ａ〕＋【３】＝〔Ｂ〕－【１】＝〔Ｃ〕－【２】

〔Ｂ〕をもっとも大きくしたいのですから、最後の個数を、考えられる最大の数の６６としてみます。
つまり〔Ａ〕＋【３】＝６６
ここで最小となる〔Ａ〕は【１】以上でないといけないので
６６÷４＝１６余り２を計算します。
この結果〔Ａ〕は１６以上の数と分かります。
（この式の意味は線分図を使うと分かりやすいです。）
ここで、【３】は明らかに３の倍数ですし、６６も３の倍数ですから、〔Ａ〕も３の倍数です。
また〔Ｂ〕－【１】＝６６より
〔Ｂ〕＝６６＋【１】なので
〔Ｂ〕をもっとも大きくするためには【１】をなるべく大きくした方がよいと分かります。
以上をまとめると
〔Ａ〕＝１８
【１】＝１６
となります。
これにより、〔Ｂ〕＝６６＋１６＝８２と分かります。
（答え）８２個