この形から、台形を思い浮かべるのは自然だと思います。
台形の面積として求めるのが普通でしょうか。
求める図形をN番目としてみましょう。
すると、一番上の段の個数はN個となるので、
合計の個数は次の式で表せます。
〔N+{N+(Nー1)}〕×N÷2
(上底+下底)×高さ÷2の式と比べて理解してください。
{N+(N-1)}の部分が下底にあたります。
この式を整理していきましょう。
(N+2×N-1)×N÷2
これが117個なので次の式ができます。
(N+2×N-1)×N=117×2
さらに整理してみましょう。
(3×N-1)×N=234
ここで234を素数の積で表してみます。
234=2×3×3×13
(3×N-1)×N=2×3×3×13
この式から
26×9を見つけ、N=9と求められます。
四谷大塚が配布した解説の式はこの解き方をコンパクトにしたものでしょう。
でも、とても分かりづらいですね。
そこで、別の解き方がないか、考えてみましょう。
例えば4番目の形は次のように見ることができます。
○○○○
○○○○●
○○○○●●
○○○○●●●
つまり左側の白石の部分は4×4(4の平方数)
右側の黒石の部分は1+2+3(1から3までの合計、つまり3までの三角数)
と考えられます。
だから、求める図形は
Nの平方数と
(N-1)までの三角数の合計となります。
三角数というのをもっと詳しく知りたい人は、日能研ブックスの「算数ベストチェック」の52ページを読んでください。
117に近い平方数をみつけていきましょう。
100=10×10
三角数は(1+9)×9÷2=45
100+45=145
だから、これは当てはまりません。
次は
81=9×9
三角数は(1+8)×8÷2=36
81+36=117
あ~、ピッタリですね(^o^)
これなら簡単に、しかも短時間で求められると思います。
なお、45の一つ前の三角数を求める時は、45-9と計算するともっと速いですね。
意味は分かりますね。
1から9までの合計から9を引けば1から8までの合計になります。
答え 9番目
台形の面積として求めるのが普通でしょうか。
求める図形をN番目としてみましょう。
すると、一番上の段の個数はN個となるので、
合計の個数は次の式で表せます。
〔N+{N+(Nー1)}〕×N÷2
(上底+下底)×高さ÷2の式と比べて理解してください。
{N+(N-1)}の部分が下底にあたります。
この式を整理していきましょう。
(N+2×N-1)×N÷2
これが117個なので次の式ができます。
(N+2×N-1)×N=117×2
さらに整理してみましょう。
(3×N-1)×N=234
ここで234を素数の積で表してみます。
234=2×3×3×13
(3×N-1)×N=2×3×3×13
この式から
26×9を見つけ、N=9と求められます。
四谷大塚が配布した解説の式はこの解き方をコンパクトにしたものでしょう。
でも、とても分かりづらいですね。
そこで、別の解き方がないか、考えてみましょう。
例えば4番目の形は次のように見ることができます。
○○○○
○○○○●
○○○○●●
○○○○●●●
つまり左側の白石の部分は4×4(4の平方数)
右側の黒石の部分は1+2+3(1から3までの合計、つまり3までの三角数)
と考えられます。
だから、求める図形は
Nの平方数と
(N-1)までの三角数の合計となります。
三角数というのをもっと詳しく知りたい人は、日能研ブックスの「算数ベストチェック」の52ページを読んでください。
117に近い平方数をみつけていきましょう。
100=10×10
三角数は(1+9)×9÷2=45
100+45=145
だから、これは当てはまりません。
次は
81=9×9
三角数は(1+8)×8÷2=36
81+36=117
あ~、ピッタリですね(^o^)
これなら簡単に、しかも短時間で求められると思います。
なお、45の一つ前の三角数を求める時は、45-9と計算するともっと速いですね。
意味は分かりますね。
1から9までの合計から9を引けば1から8までの合計になります。
答え 9番目