浦和明の星女子中学校２０１０年１月入試算数５番・解答

（１）
まず得点について考えましょう。

二人の得点の合計を求めます。
カード全体の合計は
（１＋７）×７÷２＝２８

３が残っていますから、２８－３＝２５
これが二人の点数の合計です。

差は１５点と与えられていますから、普通の和差算として求められます。

Ａさんは大きい方の数字になるので
（２５＋１５）÷２＝２０
Ｂさんは小さい方の数字になるので
（２５－１５）÷２＝５


次に持っているカードについて考えます。

二人が持っているカードは次の通りです。
奇数（１、５、７）
偶数（２、４、６）

Ｂさんが５点で持ち点が少ないですから、Ｂさんのカードについて考えた方が楽そうですね。
５点になるのは次の２つの場合が考えられます。

〔その１〕５が１枚。
奇数のカードは初めから自分で持っていたことになるので、５の他に２枚の偶数のカードを持っていたことになります。
そうするとＡさんも１枚偶数のカードを持っていたことになり、やり取りした後にＢさんが５だけを持っているというのはあり得ないと分かります。

〔その２〕１と４が１枚ずつ。
Ｂさんが１を初めから持っていて、その他に４以外の偶数を２枚持っていたとすると成り立ちます。
即ちＢさんの初めに持っていたカードは（１、２、６）
Ａさんの初めに持っていたカードは（４、５、７）
やり取りした後は次のようになります。
Ａさん（２、５、６、７）
Ｂさん（１、４）


（２）
【１】はすぐ分かりますね。二人の得点が同じなのですから、その合計は偶数です。

【２】もすぐ分かります。カード全部の合計２８も偶数ですから、偶数－偶数＝偶数で、残ったカードも偶数です。

次に２人のカードの枚数についてですが、偶数が１枚残っているということは、二人の持っているカードを合わせると偶数２枚、奇数４枚となります。
やり取りした後にこれらを３枚ずつに分けるには、初めからそれぞれが偶数１枚、奇数２枚を持っていたと分かります。
ということで
（ア）１（イ）２（ウ）１（エ）２
となります。
この結果から【３】も偶数と分かります。

（オ）が分かりにくいかもしれません。
ＡさんＢさんとも得点は偶数で、しかも等しいので、２人のそれぞれの得点は２×□と表せます。（□はいくつかは分かりませんが、ある決まった数です。）
すると２人の得点の合計は次のようになります。
２×□＋２×□
これをまとめていきましょう。
２×□＋２×□＝２×（□＋□）＝２×（２×□）＝２×２×□＝４×□
つまり（オ）は４です。

次に（カ）について考えます。
カード全部の合計２８は４の倍数ですし、２人の得点の合計も４の倍数なので、残った１枚のカードに書かれた数も４の倍数と分かります。
偶数のカードの中で４の倍数は４だけですから、（カ）は４です。