複素数zを未知数とする方程式z^6=64の解をすべて求めよ

2005年の名古屋大学（文系）の数学3(1)の問題をたまたま目にしたので、頭の体操にちょっと考えてみた。

当たり前だが、これはz³=±8、あるいは実数解が2とｰ2であることが自明、というところからスタートしている。（それがわからないと多分解けない）。
解法自体はz⁶=64を変形し、z⁶-64=0を因数分解して、

(z³-8)(z³+8)=0

(z-2)(z²-2z+4)(z+2)(z²-2z+4)=0

z=±2, 1±√3i, -1±√3i

 

さて、当然ながら検算してみたいのだが、これが結構面倒くさい。真面目に手でやると、例えば

(1±√3i)³=(-2±2√3i)(1±√3i)

=-2∓2√3i±2√3i-6

=-8

(-1±√3i)³=(-2∓2√3i)(-1±√3i)

=2∓2√3i±2√3i+6

=8

で、さらにそれらを二乗して64であることがわかる（受験生はやっぱり検算したんだろうか）。
でもExcelで出来ちゃったりしてと安易に考えて、Excel、虚数で検索するとなんと虚数（imaginary）関数が標準でたくさん用意されているじゃないか。早速 Complex 関数、IMPOWER　関数を使ってみた。ところがところがである。やっぱ実数部分や虚数部分の無理数は正確には扱えないのである。別にExcel使って20+年、複素無理数（という言葉はなさそうだ）を使えなくったって、実生活では全く困らないし、Microsoftに改善を要求する気も全くないのだが、Excelにも限界はある。

何をやったかということ、

こうやって全部64、が出るのを期待していたのだが、実際にはこうなった。最後の(-2+0i)⁶なんて、64になってもいいのにね。

 

なお、わざわざ「z⁶=64の解を求めよ」ではなく「複素数zを未知数とする...」という長い前置きがついているのは、実数解はどうでもいい（手がかりとしてはどうでもよくない）のと、未知数なわけだから、公式的に憶えてても解法を示さないと0点よ、ってことだと想像する。