第21回数学カフェ「蔵本モデルと一般化スペクトル理論」

第21回数学カフェ「蔵本モデルと一般化スペクトル理論」

土曜日。

8寺起床。姉夫婦宅リフォーム38日目。

今日は東京外苑前のオラクル本社にて、13時～18時まで千葉逸人先生による第21回数学カフェ「蔵本モデルと一般化スペクトル理論」に参加してきました。

蔵本モデルは以前は蔵本予想と呼ばれ未解決問題の一つでした。この未解決問題を解決したのが、何を隠そう千葉逸人先生だったのであります。よってこの分野で第一任者である千葉逸人先生から直接講義を受けられたのは、まさしく幸運中の幸運でした。

さて蔵本モデルの話をしましょう。蔵本モデルは同一円上に一定方向である動点が複数あり同一方向にそれぞれ一定速度で回っているとします。このままでは各動点は一定速度で周り続け変化はありません。しかし各動点相互に相関関係（これを結合強度Kが十分大きいときという）を持つような力学を与えて上げると時間が立つにつれて同期を取って周わるようになります。このような現象は実は現実世界にも存在しており、例えば心臓の鼓動は各筋肉組織が同期を取って動いており、例えば脳内のニューロン組織は同期を取って発火することで神経に強いパルスで伝達しております。その典型的なモデルが蔵本モデルなのです。しかしながら、これらの同期処理の数学的な理論は証明されていませんでした。千葉逸人先生は既存のスペクトル理論を拡張した一般化スペクトル理論を構築して、蔵本予想に数学的な証明を与えました。

蔵本予想の詳細については、mattyuuさんのサイトに詳しく記載されておりますので、そちらを参照ください。
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http://mattyuu.hatenadiary.com/entry/2017/01/08/211848
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それでは次に蔵本予想を解決するステップについて見ていきましょう。自信がないので説明しきれるか分かりませんが、やってみます。間違っていたらご免なさい。まず蔵本予想の離散的な常微分方程式を連続モデルの常微分方程式に書き換えてあげる必要があります。その際定義域を複素平面まで拡張し、各動点の離散分布はガウス分布に従った確率密度関数としておきます。

次にその常微分方程式をフーリエ変換を通して式変形し、微分作用素の線形化を行います。その線形化は線形でない項を微少なものとして無視することで得られます。（ここいら辺は数学的というよりは物理的なアプローチであると感じました。）それにより常微分方程式は線形作用素のスペクトルを求める問題と変化します。

この問題を解決する常套手段がスペクトルのリゾルベント作用素を求めることです。その時求むるスペクトルには、三つの種類に分類されます。一つは点スペクトル。これはほぼ固有値を求めることと同値となります。このケースではリゾルベントは存在しません。二つ目は連続スペクトル。これはリゾルベントが存在して定義域は稠密だが連続ではなくなります。三つ目は剰余スペクトルで稠密でないケースです。

そしてそのスペクトル状態を見るために線形常微分方程式を半群の形に変形します。これは無限次元を想定しての変形です。その半群の作用素が有界（スペクトル集合がコンパクト）の場合、解は存在します。有界でないときは、Hile-Yoshidaの定理よりその半群はラプラス逆変換の公式で定式化できることが知られています。

さてそうやって変形してきた線形微分方程式を固有方程式を求めて実際にスペクトルを求めます。その固有方程式は通常の方程式では解けないのですが、実部と虚部に分けることで、ある程度その性質を調べることができます。それを固有値の複素平面に写し取るとき、実軸上の固有値が結合強度K>Kcのときは自明な解は不安定となり同期が解明されますが、０
そこで一般化スペクトル理論の登場となります。まずは弱位相の導入です。一般化理論ではヒルベルト空間（内積）、バナッハ空間（ノルム）、Frechet(完備縮小写像)、Barreled（複素解析、一様有界定理）、そしてBarreledに超関数の世界を加えた核型まで位相を弱くし、スペクトル理論を拡張します。そこでリゾルベントの解を双対空間の中で考えることで弱位相でも双対空間の中で解析接続をして収束点を見いだすことができるのです。

また虚実上に連続スペクトルが張り付いた現象は定義域の複素数平面を二葉リーマン面上に広げることで、消滅していた特異点を二枚目のリーマン面上にあぶり出すことに成功します。これによりラプラスの逆変換により、通常の固有値に加え、留数計算により完全にスペクトル分解に成功することになります。

これで双対空間上でスペクトル分解の定式化に成功します。そして力学系の中心多様体により超関数の意味で弱収束することが分かり、蔵本予想の問題の証明を得ることに成功しました。

キーポイントとしては
・リーマン面による巧みな定義域の拡張
・弱位相を双対空間の中で超関数の意味での弱収束を導入
これらを道具にして、スペクトル理論を拡張して解の存在の可能性を広げたところが千葉逸人先生オリジナルなアイデアの素晴らしさと感じられました。

最期に千葉逸人先生の最新の研究内容の紹介があり、グラフ理論の行列を無限次元まで拡張し、［0，1］×［0，1］の無限次元連続濃度に対する一般スペクトル理論の応用などをやっているそうです。本人曰く、これは離散モデルと連続モデルを繋ぐ重要な理論になるだろうとのことです。

ちょっと難しくて理解できない部分もあったけど、面白かった。元々関数解析は苦手な分野だったので、前準備の勉強はしたものの、まだまだ足りないなと感じた。まあこれを機会に苦手な関数解析の勉強ができてよかったよ。

最期に千葉逸人先生に数学カフェから感謝として、ビールの贈呈を行いました。やはり千葉逸人先生にはビールが似合う。千葉逸人先生、かっこいい！

参考文献
・「関数解析」（黒田成俊著）
・「新版応用のための関数解析」（吉田善章著）
・「一般化スペクトル理論による蔵本予想に関するアプローチ」
　（千葉逸人著）
・「関数方程式のダイナミクスとスペクトル理論」
　（千葉逸人著）

明日もゆっくり。寝る。