朝日記240817 （その３）翻訳「ラッセルの逆説」Russell’s paradox （その３）

 

朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell’s paradox （その３）

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References

 

1. ^ Russell, Bertrand, "Correspondence with Frege}. In Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence. Translated by Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
2. ^ Russell, Bertrand. The Principles of Mathematics. 2d. ed. Reprint, New York: W. W. Norton & Company, 1996. (First published in 1903.)
3. ^ Irvine, A. D., H. Deutsch (2021). "Russell's Paradox". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), E. N. Zalta (ed.), [1]
4. ^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.
5. ^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1986, ISBN 3-764-31770-1
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10. ^ José Ferreirós (2008). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (2nd ed.). Springer. § Zermelo's cumulative hierarchy pp. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
11. ^ The Autobiography of Bertrand Russell, George Allen and Unwin Ltd., 1971, page 147: "At the end of the Lent Term [1901], I went back to Fernhurst, where I set to work to write out the logical deduction of mathematics which afterwards became Principia Mathematica. I thought the work was nearly finished but in the month of May [emphasis added] I had an intellectual set-back […]. Cantor had a proof that there is no greatest number, and it seemed to me that the number of all the things in the world ought to be the greatest possible. Accordingly, I examined his proof with some minuteness, and endeavoured to apply it to the class of all the things there are. This led me to consider those classes which are not members of themselves, and to ask whether the class of such classes is or is not a member of itself. I found that either answer implies its contradictory".
12. ^ Jump up to:^a b Godehard Link (2004), One hundred years of Russell's paradox, Walter de Gruyter, p. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, retrieved 2016-02-22
13. ^ Russell 1920:136
14. ^ Gottlob Frege, Michael Beaney (1997), The Frege reader, Wiley, p. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, retrieved 2016-02-22. Also van Heijenoort 1967:124–125
15. ^ Russell 1903:101
16. ^ cf van Heijenoort's commentary before Frege's Letter to Russell in van Heijenoort 1964:126.
17. ^ van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126; Frege starts his analysis by this exceptionally honest comment : "Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion" (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, in The Frege Reader, p. 279, translation by Michael Beaney
18. ^ cf van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126. The added text reads as follows: "Note. The second volume of Gg., which appeared too late to be noticed in the Appendix, contains an interesting discussion of the contradiction (pp. 253–265), suggesting that the solution is to be found by denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution, the reader is strongly recommended to examine Frege's argument on the point" (Russell 1903:522); The abbreviation Gg. stands for Frege's Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
19. ^ Livio states that "While Frege did make some desperate attempts to remedy his axiom system, he was unsuccessful. The conclusion appeared to be disastrous ..." Livio 2009:188. But van Heijenoort in his commentary before Frege's (1902) Letter to Russell describes Frege's proposed "way out" in some detail—the matter has to do with the " 'transformation of the generalization of an equality into an equality of courses-of-values. For Frege a function is something incomplete, 'unsaturated'"; this seems to contradict the contemporary notion of a "function in extension"; see Frege's wording at page 128: "Incidentally, it seems to me that the expression 'a predicate is predicated of itself' is not exact. ...Therefore I would prefer to say that 'a concept is predicated of its own extension' [etc]". But he waffles at the end of his suggestion that a function-as-concept-in-extension can be written as predicated of its function. van Heijenoort cites Quine: "For a late and thorough study of Frege's "way out", see Quine 1956": "On Frege's way out", Mind 64, 145–159; reprinted in Quine 1955b: Appendix. Completeness of quantification theory. Loewenheim's theorem, enclosed as a pamphlet with part of the third printing (1955) of Quine 1950 and incorporated in the revised edition (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)
20. ^ Russell mentions this fact to Frege, cf van Heijenoort's commentary before Frege's (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126
21. ^ van Heijenoort's commentary before Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967:199
22. ^ van Heijenoort 1967:190–191. In the section before this he objects strenuously to the notion of impredicativity as defined by Poincaré (and soon to be taken by Russell, too, in his 1908 Mathematical logic as based on the theory of types cf van Heijenoort 1967:150–182).
23. ^ Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering in van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 reports that Zermelo "discovered Russell's paradox independently as early as 1900"; Livio in turn cites Ewald 1996 and van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009:268).
24. ^ B. Rang and W. Thomas, "Zermelo's discovery of the 'Russell Paradox'", Historia Mathematica, v. 8 n. 1, 1981, pp. 15–22. doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1
25. ^ "barber paradox". Oxford Reference. Retrieved 2024-02-04.
26. ^ "Play That Funky Music Was No. 1 40 Years Ago". Minnesota Public Radio. September 27, 2016. Retrieved January 30, 2022.

Sources

 

• Potter, Michael (15 January 2004), Set Theory and its Philosophy, Clarendon Press (Oxford University Press), ISBN 978-0-19-926973-0
• van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, (third printing 1976), Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, ISBN 0-674-32449-8
• Livio, Mario (6 January 2009), Is God a Mathematician?, New York: Simon & Schuster, ISBN 978-0-7432-9405-8

External links

 

• Kaplan, Jeffrey (2022). "Russell's Paradox - a simple explanation of a profound problem". YouTube. Retrieved 25 November 2023.

 

Wikiversity has learning resources about Russell's paradox

• "Russell's Paradox". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Irvine, Andrew David (2016). "Russell's Paradox". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Weisstein, Eric W. "Russell's Antinomy". MathWorld.
• "Russell's Paradox". Cut-the-Knot. Retrieved 25 November 2023.

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朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell's paradox (その２ー２）

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6.歴史　History

 

Russellは1901年５月^[11]もしくは６月^[12]にその逆説を発見した。^[12]　彼の1919 年の数理哲学への入門Introduction to Mathematical Philosophyでの彼自身の吟味によって、かれは「最大基数greatest cardinalは存在しないというCantor'の証明にはある欠陥があることを発見するこころみたのであった。」^[13] 

1902年の手紙で、彼はFregeの1879年Begriffsschrift においてその逆説paradoxes発見についてGottlob Frege への表明であった。それは論理、そして集合理論の意味においての問題の枠組み化、そして特にFregeの関数（機能） functionの定義の意味においての枠組み化にあるとしたのである；^[a][b]

私が困難に遭遇したひとつの点がまさにここにある。あなたは(p. 17 [p. 23 above])で述べる関数（機能）a functionもまた、非決定的要素 indeterminate elementとして働くことができると。

 

これは以前にわたくしが信じたのであるが、いまはこの観方は私にとっては疑わしくなっている、なぜならつぎの矛盾をおこすからである。

いま w は術語predicateであるとしよう：その語（述語）がそれ自身について術語化predicatedできないような術語a predicateであるために。

wはそれ自身について術語化されうるか？

それぞれの答えはその反対に従うits opposite followsのである。

したがってわれわれはw は術語ではないという結論をしなければならない。

同様にそのようなクラスthose classesのクラスclass（ひとつの全体as a totalityとして）はどこにもない、それらは、それぞれは全体として取られていても、それら自身に属していない。　

このことから、私は結論する、それはしかるべき状況のもとで、ある定義された集合体a definable collection [Menge]は全体a totalityを形成しないというものである。　

 

1903はかれの1903年のThe Principles of Mathematicsにはそれをつまびらかにしようとした、そこでは彼はくりかえしその逆説paradoxesに遭遇したのであった：^[15]

基礎的なこの質問から離れるまえに、特異性矛盾singular contradictionをよりおおくを詳らかに試験する必要がある、それはそれ自身についての術語性predicableのない術語predicatesに関して、すでに言及したものである。…私はCantorの証明を整合reconcileする努力にあったとき、それに遭遇したことを述べておきたい……

RussellはFregeへその逆説paradoxesについて手紙を出したが、それは丁度Fregeが彼の　 Grundgesetze der Arithmetik.^[16] の第二巻を準備中のときであった。　

FregeはRussellへ即急に対応した；かれの手紙22 June 1902にはそれが現れている、Heijenoort1967:126–127でのHeijenoort's commentaryの解説がそこには添えられている。

 

 

 

Fregeは付録にその逆説を容認すると書き^[17]、そしてRussellがPrinciples of Mathematics,^[18]のなかで裏書きするであろうひとつの解を提案したのであった、しかし後にだれかによってそれが不十分なものであると考察されたのである。彼の部分のために、Russellはかれの研究成果の印刷待ちの状態にあった、そしてRussellはdoctrine of types.^[20]に関する付録をそれに加えたのであった。

　Ernst Zermelo　は彼の著(1908)「 良き秩序化の可能性の新しい証明」A new proof of the possibility of a well-ordering （同じ時期につぎの著作として「第一公理的集合理論」"the first axiomatic set theory"がある）^[21]において Cantorの素朴集合理論Cantor's naive set theoryでの二律背反antinomyの第一発見者であることを言及している。

彼は言う：「そしてRussell ⁹が与えた集合理論の二律背反set-theoretic antinomiesへの基本形式でさえ、いまだ彼ら[J. König, Jourdain, F. Bernstein]を説得することできそうなものではなかった。かれらを説得できる形式とはこれらの困難性が良き秩序での降伏者surrender of well-orderingにおいてではなく、集合概念のしかるべき制約性suitable restriction of the notion of setにおいてのみ探すべきであるとことであった。^[22]

Footnote 9はかれが彼の要求の賭けであった；⁹1903, pp. 366–368.　私はしかしながらRussell,とは独立に、自身でこの二律背反を発見したのであった、そしてHilbert教授とその他のひとに1903年よりまえにその件について連絡を取ってきたのであった。^[23]

Fregeは彼の代数の基礎法則Grundgesetze der Arithmetik の写しをHilbertに送った；上述のようにFregeの最終巻はRussellがFregeと交流した逆説について述べっていたものである。

Fregeの最後の巻（7 November 1903）を受け取ったあと、HilbertはFregeへ手紙を書いた、そこにはRussellの逆説を引用して、Hilbertは言う「私はDr. Zermeloが３もしくは４年前にそれを発見していたと信じている」と。

Zermeloの実際の論議の記録的証拠になるものは　Edmund Husserl.^[24]の遺稿Nachlass において発見された。^[24]

 

1923年、Ludwig WittgensteinはRussell逆説paradoxについて次のように公の場に晒し"dispose"した：

関数（機能）がそれ自身の引数argumentであることができない理由は関数（機能）のための記号signがすでにその引数argumentの原型prototypeを含んでいて、そしてその記号はそれ自身itselfを含むことができないということである。　

関数F(fx)はそれ自身の引数own argumentであることを考えてみよう：このケースではひとつの提案 F(F(fx))があるであろう、そになかでは外側関数 F と内側関数 Fは異なる意味をもつにちがいない、なぜなら内側のそれは形O(fx) であり、そして外側のそれは形 Y(O(fx))であるからである。

文字'F'だけが二つの関数に共通につかわれている、しかしそれ自身によってその文字はなにも記号化しない。

このことは直ちにつぎのことを明示する、もしF(Fu) のかわりにつぎのように書く（おこなう（do））：F(Ou) .　そしてOu = Fu.となる。

それはラッセルの逆説 Russell's paradoxのもとに晒される。(Tractatus Logico-Philosophicus, 3.333)　

 

Russell とAlfred North WhiteheadはPrincipia Mathematica 　第三巻を著した、それはFregeが為すことができなかったことを為すことを望んだのであった。

かれらはnaive set theory の逆説を禁止することを探求した、それには、彼らがこの目的のために工夫した型理論theory of typesを採用することによってであった。

彼らはひとつの様式として算術を基礎にしてすすめる一方で、かれらが純粋に論理的手段で行えることがすべてが自明であるとはいえないことであった。

Principia Mathematica は知られている逆説paradoxesを避けそして沢山の数学的誘導作業をゆるしたが、そのシステムはあらたな問題を引き起こしたのである。

いずれの事態においても、　Kurt Gödel は　1930–31につぎのことを証明した、それは　Principia Mathematica,の多くの論理は、今日第一次術語論理first-order logicとして知られているものであるが、これは完全 completeである、その一方でPeano arithmeticはもしこれが矛盾ない consistentならば、必然的に不完全necessarily incompleteなものであるということを証明したのであった。

このことは、—普遍的ではないがーつぎのことであるとひろく認められていることである、Fregeの論理家プログラムlogicist programが完全to completeになることは不可能impossibleであるということを証明している。

2001年に　Russell's paradox百年を祝う世紀国際会議がMunichにてひらかれたそして予稿集が出版されたのであった。^[12]

 

^{～～～～～～～}

^{訳者（荒井）　補注；　The barbar paradoxについては　納得にいたるのに多少注意深さがもとめられるのであえて、参考まで以下ふたつの説明をおく}

 

^{参考説明１；}

その床屋は「自分自身を剃らないひとをすべて、そしてそのような人のみを剃るひと」まさにそのひとである。

質問はつぎである、その床屋は自身を剃るか？^[1]

この質問に対する如何なる答えも矛盾に陥る：その床屋は自分自身を剃らないひとたちをのみ剃るので、彼自身を剃ることができない。かくしてもし彼が彼自身を剃るなら床屋として特定されていることを辞めることになる。逆に、その床屋が自分自身を剃らないなら、それで彼はその特定された床屋が剃るであろうひとびとおなじ仲間になる、かくして、その床屋として、彼は自分自身を剃らねばならない。

オリジナルの形式では、この逆説は解を持たない、そのような床屋は存在し得ない。

この設問は 「多重質問の誤謬」loaded questionとよばれ、そこには存在しえないはずの床屋の存在を仮定しているのであるから、この設問は空疎な提案vacuous propositionであり、かくして質問そのものが無効falseでる。他の非⁻逆説変形non-paradoxical variationsのものがあるがそれらは違うものである。^[3]　

(From Barber paradox - Wikipedia)

 

参考説明２：

ある村にひとりの床屋がすんでいる、その者はひとびとのうちで自分自身を剃らないひとならすべて、そしてそれにかぎり剃る者である。だれがその床屋を剃るか？　もし彼（その床屋）が自身を剃れば、彼は（その床屋を剃らない）、しかしかれが自身を剃るならば、かれは（その床屋を剃る）。

この逆説は実際にはそのような床屋はありえないことの証明である、または換言すれば、この条件は不整合のものであることを証明するものである。　ラッセルの逆説の項目を見よ。

（Oxford Reference　Barber paradox - Oxford Reference）

～～～～～

 

7.応用版　Applied versions

 

この逆説の版として実際生活に近い状況に置き換えて、論理学者でなくても理解しやすい説明もある。

　 床屋逆説barber paradoxというのを取り上げる、彼barberは、彼ら自分自身を剃らない男たちすべてallを、ならびに彼ら自分自身を剃らない男のみonly menを剃る者をいう。この逆説はそんな床屋を考えることからの逆説である。その床屋が彼自身を剃るべきか否かを考えるときに、同様なる逆説が現われはじめる。^[25]　

床屋逆説のような下世話なはなしとしては以下になろう、そのような床屋は居るわけがないし、またその床屋は男ではないかもしれない、そしてそんなむずかしいことをいわなくても床屋は存在できるではないかと。

 

　Russell's paradoxの全体としてのポイントは、回答として「そんな集合は存在しない」ということになってしまうのは、与えられた理論が意味する集合での概念定義が不十分であるとによるものである。

「そのような集合は存在しない」という言明と「それは空集合empty set"である」というそれとは違うことに注意すべきである。さらに言うなら、「バケツはどこにもない」ということと「バケツは空っぽである」ということの間の違いに似ている。　

上の件に対するおもしろい例外は　Grelling–Nelson paradox　であろう、そこでは、言葉と意味はひとと理髪のはなしよりもシナリオ的な要素の方にある。

そのような床屋は存在しないし（そして存在し得ない）ことを言うことによって、この床屋の逆説を否定却下することは容易であるが、しかし意味するところを定義していることばについて類似の何かを見つけるのはむずかしい。

 

その逆説はつぎのようにドラマ化されたものになる；

いま、すべての公立図書館がその所蔵の書籍の目録を編纂することになったとしよう。

この目録はそれ自身がその図書館の書籍のひとつであるので、ある司書たちは完全を期してその目録のなかに（この）目録を記載する；一方他の司書たちは、それはその図書館の書籍であることは自明であるとして、目録への収録外として取り上げなかった。

さて、これらすべての目録が国立図書館へおくられたことを想像してみよう。それらのあるものはそれら自身を含み、他は含まないとなる。

国立図書館は２種類の総目録を編纂することになる―ひとつはそれ自身をふくむ総目録、もうひとつはそれ自身を含まない総目録である。

 

この問題は以下となる；これらの総目録master cataloguesにはそれら自身を含めるべきであろうか？　「それら自身をすべて収録した目録の目録」自体に問題はない。　

もし、その司書が自身の記載のなかにそれを含めないならば、それは、それ自身をふくまない目録をあつめた真なる目録として残る。

もし、彼がそれをふくめたらば、それ自身を収録した真の目録としてのこる。

 

しかしながら、司書が初版の総目録で不行き届きでなかったものの、彼は第２版でそれが誤りであったのかなやむことになる。

「それ自身を含めない目録たちの総目録」ということになるので、その司書たちは自分たちの収録のなかにそれを含めることができなくなる、

そして斯くして他の目録に属することになり、それ自身を含む目録のそれとなる。

 

しかしながら、もしその司書がその職席から離れたならば、その目録は不完全なものとなる。どのみち、それはそれら自身を収録しない目録の真の総目録であることには決してならないのである。

 

 

8.応用と関連トッピクス　　Applications and related topics

 

8.1ラッセル類似逆説　Russell-like paradoxes

 

上述の床屋とのわかりやすい事例として、　Russell'の逆説を拡張することはむずかしくない。それをとりあげよう：他動詞 transitive verb ⟨V⟩、これはその目的になるモノ substantive formに適用されるのである。

 

以下の文章を形つくろう：

その ⟨V⟩erはつぎのものである、かれら自身themselvesに対して⟨V⟩ をしないすべて（そしてそれに限る）the ⟨V⟩ersたちである、往々、"all"という語は"all ⟨V⟩ers"によって置き換えられる。[1]

例えば、ひとつの例として絵描きがある：自分自身を描かないすべての（そしてそれに限る）者を描く絵描き

もしくは選挙：立候補者（代表者representative）、それは自分自身に投票しないすべての者に投票するもの。

　The Big Bang Theory,での　Season 8 　の挿話で、　"The Skywalker Intrusion"、Sheldon Cooper 　はその歌　"Play That Funky Music"を分析しているが、これは　Russell's Paradox　の音楽的例を提供していると結論する。^[26]

この意味のものに入る逆説としてはつぎのものがある：

• ひげ剃りと床屋　The barber with "shave".
• 初期のRussellの逆説はつぎの内容"contain"を含んでいる；そのコンテナー（集合）はそれ自身を内容物(containers)として含めないが、そのなかにあるすべてを含むもの（集合）である。
• The Grelling–Nelson paradox　記載人 "describer":その記載人（ことば）は自身を記載しない（ことば）すべてを記載する者である。

 

Richard's paradox 　整理番号"denote":　番号配布（数）denoter (number)は、それら番号配布者自体を番号づけしない番号配布（数）を配布である。（この逆説では、数の記述すべては指定された数を獲得する。この術語「それ自身を番号付けしない配布者（数）すべてに配布する」は　Richardian　と呼ばれている。）

「私は嘘をついている」、言うところの嘘つきの逆説および逆説the liar paradox and Epimenides paradoxである、それらの源は古典的である。

 

• ・Russell–Myhill paradoxラッセル⁻マイヒル逆説

• 他動詞 transitive verb ⟨V⟩, それは substantive formに適用されうる

 

 

 

8.2関係する逆説類　Related paradoxes

 

•  Burali-Forti paradox　すべてのよき秩序all well-orderingsの秩序タイプorder typeについて
• The Kleene–Rosser paradox,　原　は一貫性がないことを、それは自己否定言述によって証明している。
• Curry's paradox (named after Haskell Curry)、これは否定　を要求しない逆説

 

• smallest uninteresting integer 最小無関心整数の逆説

 

• 型理論 type theoryでのGirard's paradox　

 

See also

[edit]

• Basic Law V
• Cantor's diagonal argument – Proof in set theory
• Gödel's incompleteness theorems – Limitative results in mathematical logic
• Hilbert's first problem – Proposition in mathematical logic
• "On Denoting"
• Paradoxes of set theory
• Quine's paradox
• Self-reference
• Strange loop – Cyclic structure that goes through several levels in a hierarchical system
• Universal set – Mathematical set containing all objects

Notes

 

1. ^ In the following, p. 17 refers to a page in the original Begriffsschrift, and page 23 refers to the same page in van Heijenoort 1967
2. ^ Remarkably, this letter was unpublished until van Heijenoort 1967—it appears with van Heijenoort's commentary at van Heijenoort 1967:124–125.

朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」その2ー１

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1.はじめに

数学的論理においてRussellの逆説Russell's paradox (Russsellの二律背反 Russell's antinomyとしても知られている)は集合-理論的逆説set-theoretic paradox であり、これは英国の哲学者であり数学者であるBertrand Russellによって1901年に公開された。^[1][2]

　Russellの逆説Russell's paradoxはすべての集合理論 set theoryが非制限的理解原理　unrestricted comprehension principle を含むもので、これが矛盾contradictions に導くことを証明する。^[3]

この逆説はすでにドイツの数学者　 Ernst Zermeloが　1899年に独立して発見していたのであった。^[4]

しかしながら、　Zermeloはそのアイディアを公開することをしなかった、このアイディアはDavid Hilbert、Edmund Husserlそして　 University of Göttingenでの学者なかまにのみ知らされたままになっていたのであった。

　1890年代の末に　Georg Cantor ―からは近代集合理論の祖といわれているが―は彼の理論が矛盾に導くということがすでに分かっていたのであった、そして彼は　Hilbertと　Richard Dedekindに手紙によって語っていたのであった。^[5]

 

その非制限的理解原理unrestricted comprehension principleによれば、十分によく定義されたどのような特性 propertyに対して、その特性をもつすべての、およびそれを持つ対象objectsに限った集合the setがそこに存在する。　

いまR をそれ自身メンバーmembers of themselvesではないすべての集合all setsからなる集合the setとしよう、（ときにこれを　"the Russell set"と呼んでいる）。　

もしそれがそれ自身メンバーでなければ、そのときこの定義では、それがそれ自身メンバーであることに帰着する；

否、もし　それがそれ自身メンバーであるなら、それはそれ自身メンバーではない、なぜならそれは、それら自身メンバーではない集合すべてall setsについての集合the setであるからである。結果としてのこの矛盾resulting contradictionがラッセル逆説Russell's paradoxである、　

記号的には

Let 𝑅={𝑥∣𝑥∉𝑥}, then 𝑅∈𝑅⟺𝑅∉𝑅

 

　Russellもまた、その逆説がドイツの哲学者でありかつ数学者である　 Gottlob Frege　によって構築された公理システムaxiomatic systemで誘導されるひとつの版を示したのであった。かくして、　Fregeの試みのなかに潜む数学を論理へと帰納させ、そして　logicist programmeとよぶ論理主義者プログラムを設問として招き入れるcalling into questionのである。

この逆説を克服するための二つの影響的な道すじが1908年に提案された；Russell自身の　type theory と　the Zermelo set theoryである。

特に　Zermeloの公理は無制限的理解原理unlimited comprehension principleに制限をあたえた。

Abraham Fraenkelのさらなるなる貢献によってZelmeloの集合理論は今日標準のZelmelo-Frankel集合理論Zermelo–Fraenkel set theory へと展開していく、（選択公理 axiom of choiceを含むときこれはZFCとして一般に知られている）。

  RussellとZermeloの間の主なる違いは　Zermeloは標準論理言語standard logical languageを使う一方で、集合理論の公理に変更を加えたが、　Russellは論理言語logical languageそれ自身を変更した。

　ZFC言語にThoralf Skolemの援けhelp of Thoralf Skolemを得たのが、　一階術語論理first-order logic.^[6]のそれへと生まれ変わったのである。　

 

 

2.わかりやすい説明　Informal presentation

 

一般に遭遇するほとんどの集合では、それ自身はメンバーではない集合である。

いま、ある集合a setが"normal"と呼ばれるとき、それはそれ自身がメンバーではないとし、そして"abnormal"　とよばれるとき、それはそれ自身がメンバーであるとしよう。

（原文）Most sets commonly encountered are not members of themselves.

 Let us call a set "normal" if it is not a member of itself, and "abnormal" if it is a member of itself. 　

　

あきらかにいずれの集合every setもnormalか abnormalでなければならない。

例をあげよう、ある平面のなかにすべてが四角形からなる集合the set of all squares in a plane.を考える。この集合setとしては、それ自身は平面上の四角形ではないnot a square in the plane、かくしてそれはそれ自身のメンバーではない、したがってnormal集合である。

　　　

（原文）Clearly every set must be either normal or abnormal.

 For example, consider the set of all squares in a plane. This set is not itself a square in the plane, thus it is not a member of itself and is therefore normal.

　

 

対照的に、この平面内で、四角形a squareではないすべてを含む集合（つまり補集合complementary set）は、それ自身その平面における四角形a squareではない、そしてそれはそれ自身のメンバーのひとつでありそして　したがって、abnormalである。

（原文）In contrast, the complementary set that contains everything which is not a square in the plane is itself not a square in the plane, and so it is one of its own members and is therefore abnormal.

 

いま、すべてが　normal集合setsである集合the set、 Rを考えてみよう、そしてこのRがnormalかabnormalであるかを決定することを試みる。

（原文）Now we consider the set of all normal sets, R, and try to determine whether R is normal or abnormal.

 

もしRがnormalならnormal setsすべてからなるthe set（つまりそれ自身）のなかにRが含まれることになる、そしてしたがってRはabnormal集合になってしまう；

（原文）If R were normal, it would be contained in the set of all normal sets (itself), and therefore be abnormal;

 

一方もしRがabnormalであったなら、それはすべてのnormal setsのthe set（つまりそれ自身）のなかに含まれないであろう、したがってRはnormal setになってしまう。

（原文）on the other hand if R were abnormal, it would not be contained in the set of all normal sets (itself), and therefore be normal.

 

このことは、R がnormalでもなく、またabnormalでもないという結論に導くのである: つまりラッセルの逆説Russell's paradoxである。

（原文）This leads to the conclusion that R is neither normal nor abnormal: Russell's paradox.

 

 

 

3.式的表現　Formal presentation

 

The term "naive set theory" is used in various ways.

In one usage, naive set theory is a formal theory, that is formulated in a first-order language with a binary non-logical predicate ∈, and that includes the axiom of extensionality:

∀𝑥∀𝑦(∀𝑧(𝑧∈𝑥⟺𝑧∈𝑦)⟹𝑥=𝑦)

and the axiom schema of unrestricted comprehension:

∃𝑦∀𝑥(𝑥∈𝑦⟺𝜑(𝑥))

for any formula 𝜑 with the variable x as a free variable inside 𝜑.

Substitute 𝑥∉𝑥 for 𝜑(𝑥) to get

∃𝑦∀𝑥(𝑥∈𝑦⟺𝑥∉𝑥)

Then by existential instantiation (reusing the symbol 𝑦) and universal instantiation we have

𝑦∈𝑦⟺𝑦∉𝑦,

a contradiction. Therefore, this naive set theory is inconsistent.^[7]

 

 

術語「素朴な集合理論」　"naive set theory"　はさまざまに使われている。

ひとつの使い道としては以下である；この集合理論はひとつの形式理論formal theoryである、この理論においては一階述語論理 first-order language のなかで形式化されるものであり、この言語レベルでは二元的な非論理的術語binary non-logical predicate ∈  を使う、そして理論は外延性公理axiom of extensionality　を含むのである；

∀𝑥∀𝑦(∀𝑧(𝑧∈𝑥⟺𝑧∈𝑦)⟹𝑥=𝑦)

 

そして無制限の内包unrestricted comprehensionの公理をつかって；

∃𝑦∀𝑥(𝑥∈𝑦⟺𝜑(𝑥))

 𝜑はその内部は自由な変数としての変数free variableをもつ式であれば

どのような式でもよい。

 𝜑(𝑥)のために　𝑥∉𝑥を代入すると

つぎの関係を得る；

∃𝑦∀𝑥(𝑥∈𝑦⟺𝑥∉𝑥)

 

したがって 存在的例化existential instantiation (記号𝑦を再度使って)そして普遍的例化 universal instantiationによって、次のようになる；

𝑦∈𝑦⟺𝑦∉𝑦,

これは矛盾となる。したがってこの素朴な集合理論には一貫性がなくなるinconsistent。^[7]

　

 

 

4.哲学的意味性　Philosophical implications

 

　Russell's 逆説（そして他の同様な逆説はその時機に発見された、たとえばBurali-Forti paradoxがそれである）に先立ち、集合理念の共通概念化common conception of the idea of setとして「集合の拡張的概念」"extensional concept of set"がvon Neumann and Morgensternによって示されたのであった；^[8]

集合setとは対象objectsの任意の集合体collectionであり、これら対象の自然性と数量について、件の集合の要素elementsについて絶対的に何ら制限が置かれない。　

その要素はその集合the setを構成し、決定するのにそれらの間になんら種類の順序、関係性を持たしめないものである。　

特に、集合setsと特定クラスproper classesとの間の区別はしていない。

さらに、集合体a collectionの各要素の存在性については、言うところの要素の集合the set　の存在性は十分性があると見たのである。

しかしながら、Russell's およびBurali-Forti'sのような逆説が、集合概念conception of setの不可能性impossibilityを証明した、それらの例では、言うところの対象すべてが存在的であるにもかかわらず、集合setsを形成しない対象objectsの集合体collectionsの例が示された。　

 

5.集合理論的応答　Set-theoretic responses

 

古典論理の破裂の原理 principle of explosion of classical logicから提案されるものはどれも矛盾contradictionをとおしての証明である。

しかしながら、　Russell逆説のような矛盾がそこにあるということはまことに災害的でもあった；それはどのような式であれそれが真であると証明されるなら、その式は真僞のこれまでの通常的意味性をも破壊するからである。

さらに、集合理論は他のすべての数学分野の公理的展開のためのの基礎として見られていたから、　Russell逆説は全体として数学の基礎を脅かすことになったのである。

この動機が刺激となりおおくの研究が　二十世紀中におこり一貫性のある（矛盾から解放される）集合理論が開発されたのである。

　1908年に　Ernst Zermelo は集合理論公理化 axiomatization of set theory　を提案した、それは　素朴集合理論naive set theoryの逆説paradoxesを避けるものであり、任意集合の理解をより軽微なweaker existence存在公理、たとえば彼の分割公理 axiom of separation (Aussonderung)のようなもので、おきかえるのである。　

（逆説を避けることは　Zermeloの本来意図ではないが、しかし　 良き秩序理論well-ordering theorem　を証明するのに彼が使用した仮定記述の代わりとなるものであった）^[9]

　 Abraham Fraenkel, Thoralf Skolemによって1920年代に提案され、さらにZermelo自身によって ZFCとよばれる公理的集合理論axiomatic set theoryの提案が出現したのである。

 

この理論がひとたび世にでると、ひろくZermelo's 選択公理axiom of choiceとして論争がおさまり、受け入れられることになった、そしてZFCは今日に至るまで教科書的な公理的集合理論axiomatic set theoryとして残ったのである。　

ZFCはすべての特性propertyに対してその特性を満足するモノすべての集合があるということを仮定しない。　

むしろその主張するところは、集合Xがあたえられたら、第一術語論理first-order logic をつかって定義するサブ集合subsetとしてならどこでも存在することにあった。

Russell逆説による定義のこの対象 R はどのような集合Xのサブ集合としても構築することはできないのであり、したがってZFCでの集合ではない。

ZFCのある拡張において、von Neumann–Bernays–Gödel set theory　が良く知られているが、R のような対象objectsを特定クラスproper classesと呼んでいる。

ZFCは型式typesについてはおとなしいsilentな 累積階層cumulative hierarchy型式で型式typesが似ている層概念notion of layersをもつにもかかわらずである。

 Zermelo彼自身は　第一術語論理を使っているZFCの定式化Skolem's formulationをけっして受け入れていないのである。

　José Ferreirósが記すように、Zermeloが代わりに主張したのは"提案関数propositional functions（条件や術語）であり、サブ集合とは別に考えるためにつかわれるものであり、置換関数replacement functionsと似ていて、全般的任意'entirely arbitrary' [全きに任意ganz beliebig]"であるとしたことである。“；

この言述にあたえられた現代的解釈は、　Zermeloが　Skolem逆説 Skolem's paradoxを避ける目的でさらに高階術語の量化higher-order quantification を含むことを求めたということである。

 

1930年代に、　Zermeloもまた（明らかに　von Neumannとは独立に）基礎公理axiom of foundationを導入した、かくしてFerreirósが観察したように―これは循環的'circular' と 'ungrounded'非根拠的なる集合setsを回避することによってであり、それ[ZFC]はTT [type theory]の重要な動機のひとつ―引き数の型式原理the principle of the types of argumentsと関連していたのである」。

2nd order ZFCをZermeloは好み、これは基礎公理axiom of foundationを含んでおり、豊かな累積構造cumulative hierarchy.を許すものであった。

Ferreirósは"Zermelo'の層 'layers'は基本的にGödel and Tarskiが提供した単純なTT [type theory]の現代版型式と同じものであると書く。

ひとは累積的階層を記述するにZermeloは彼のモデルを累積的TTを宇宙the universe of a cumulative TTとして展開したのであるが、そこでは有限からくる無限transfinite typesがゆるされるのである。

（ひとたび、自己参照的な意味でこの非予想的観点impredicative standpointを採用してしまうと、クラスclassesを構築する観念ideaを捨ててしまい、それによって、有限から出てくる無限transfinite typesを受け入れることが不自然になる）　

 

単純TTとZFCは、斯くして、いまや同じ意図のもとでの対象について基本を語る'talk' essentiallyシステムとして見なことができるのである。　

主なる違いはTTが強力な高次術語論理strong higher-order logicに乗っているのであり、一方Zermeloは二次術語論理second-order logicを採用していること、そしてZFCは一次術語式first-order formulationをあたえることもできるのである。　

累積階層cumulative hierarchyの一次術語記述first-order 'description'は数え上げモデルcountable modelsの存在性 (Skolem's paradox)が示すように、かなり弱いものであるが、ある重要な利便を与えてくれるのである。^[10]

　ZFCにおいて、いま集合Aがあたえられたとしよう、このときつぎのような集合B を定義することは可能である、集合 Bとはまさしく集合A のなかの集合setsから成り立っているが、その集合setsはそれ自身のメンバーではない。

　B はRussell's Paradoxにおける同じ理由によってAのなかにあることはできない。

　Russell's paradoxの見方を変えると、すべてのものを含むような集合などはないということを証明しているといえる。

Zermeloと他の人たちの業績をとおして、特にJohn von Neumannを上げるが、ZFCによって記述される「自然」対象"natural" objectsのようにひとから見る構造が実質的にあきらかになった；それらは von Neumann universeのV要素であり、 べき乗集合操作power set operationを究極まで繰り返し実施transfinitely iterating することによってempty set 空集合からつくりあげた要素elementsである。　

 

非公理的な様式non-axiomatic fashionでの集合についてそれがVの逆説paradoxesから逃げおおせる理由付けは斯くして、現在可能となるが、それはVの要素elements of Vについての理由付けにひとえに依っている。

この道すじでの集合の考え方が適正であるかどうかは　数学哲学　philosophy of mathematicsに関する競合する観方のなかでの内容に掛かっている。

ラッセル逆説Russell's paradoxへの他の解は　　Quineの新しい基盤New Foundationsと　　Scott-Potterの集合理論Scott–Potter set theoryを上げることができる、これらは型式理論のそれに近い戦略をその根底においている。

複数の要素系と適切に考慮された理解への起案はいまだそのアプローチさえ定義されていないがDouble extension set theoryが目下それにあたる。

 

表紙へ　朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell's paradox

朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell's paradox 表紙

開通しました2024-8-17

 

朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell's paradox

 

翻訳「ラッセルの逆説」  

システム思考での目的論理の構造と社会倫理について XIX

 System Thinking, Teleological Structure and Social　XIX；

Russell's paradox

From Wikipedia, the free encyclopedia

Russell's paradox - Wikipedia

This page was last edited on 20 July 2024, at 22:14 (UTC).

 

 

Translator　Yasumasa Arai

194 0002 MinamiTsukushino, Machida,

 Tokyo, Japan

Date; 2024-08-16

 

Abstract：　General System Thinking is a theory of an object under concern to be taken as organized fundamental frame with objectives and constraints. This author looks into the meaning of　decision making taken into account as "human free will" and "natural causality", so-called,　that is to be said. He enquires into the concept of purpose in its human and social dimensions.

Human consciousness and Neuro brain physicals, its conjunction as paradigm change have been  into very crucial stage both for philosophy and physical science.

In mathematical logic, Russell's paradox is a set-theoretic paradox published by the British philosopher and mathematician Bertrand Russell in 1901.　Russell's paradox shows that every set theory that contains an unrestricted comprehension principle leads to contradictions.  Two influential ways of avoiding the paradox were both proposed in 1908: Russell's own　type theory  and the Zermero set theory. This article is Japanese translation from the English article of this title above of Wikipedia.

Keywords: Russell paradox, Zermero-Frennkel , axiom of choice set theory, Russell’s type theory,

概要；一般システム思考は、目的と制約条件をもつ対象に関する理論である。著者は、これを人間自由意志と自然因果関係とに還元して意思決定の意味構造を考察してきた。

本邦は物理系と意識系との接点の接合として鍵をにぎっておりこのRussell 逆説に注目した。数学的論理においてRussellの逆説 は集合-理論的逆説であり、Bertrand Russellによって1901年に公開された。 Russell逆説はすべての集合理論が非制限的理解原理を含むもので、これが矛盾contradictions に導くことを証明する。この逆説を克服するための二つの影響的な道すじが1908年に提案された；Russell自身の　type theory と　the Zermelo set theoryである。Abraham Fraenkelのさらなるなる貢献によって今日標準のZelmelo-Frankel集合理論Zermelo–Fraenkel set theory へと展開していく、（選択公理 axiom of choiceを含むときこれはZFCとして一般に知られている）。２０世紀末からの学術界の焦点として物理系と意識系との接点の接合概念として、このRussell 逆説が鍵をにぎっており、今回Wikipedia（英文）の当該項目の翻訳をおこなった。

 

キーワード；Russell 逆説, Zermero-Frennkel 　set theory, 選択公理、Russell型理論

,

 

 

理解に有益なる関連項目先

この解説はRussellについての以下のWikipedia項目構成の一部であることを読者に喚起している；

• Views on philosophy
• Views on society (Peace Foundation)
• Professorship of Philosophy
• Appointment court case
• Russell's paradox　Russell's paradox - Wikipedia
• Peano–Russell notation
• Copleston–Russell debate
• Russell–Einstein Manifesto
• Russell Tribunal
• Russell's teapot
• Theory of descriptions
• Logical atomism

 

本文目次

　朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」その2ー１

 

1.はじめに

2.わかりやすい説明　Informal presentation[edit]

3.式的表現　Formal presentation

4.哲学的意味性　Philosophical implications[

5.集合理論的応答　Set-theoretic responses

 

朝日記240817 翻訳「ラッセルの逆説」Russell's paradox (その２ー２）

6.歴史　History

7.応用版　Applied versions

7.1応用と関連トッピクス　　Applications and related topics

 

7.2ラッセル類似逆説　Russell-like paradoxes

7.3関係する逆説類　Related paradoxes

 

See　also

Notes

 

朝日記240817 （その３）翻訳「ラッセルの逆説」Russell’s paradox （その３）

Reference

 

朝日記240721 Wiki英文翻「可謬主義」つづき２

朝日記240721 Wiki英文翻「可謬主義」つづき２

Wiki英文翻「可謬主義」つづき２

表紙へかえる；朝日記240721 　Wiki英文翻訳　「可謬主義について　Fallibilism

 

参照See also[edit]

• Defeasible reasoning
• Logical holism
• Nihilism
• Multiverse (set theory)
• Pancritical rationalism
• Perspectivism
• Pragmatism § Reconciliation of anti-skepticism and fallibilism
• Probabilism
• Projectivism

文献　　References

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Further reading[edit]

• Charles S. Peirce: Selected Writings, by Philip P. Wiener (Dover, 1980)
• Charles S. Peirce and the Philosophy of Science, by Edward C. Moore (Alabama, 1993)
• Treatise on Critical Reason, by Hans Albert (Tübingen, 1968; English translation, Princeton, 1985)

External links[edit]

• Epistemic Fallibilism at PhilPapers
• "Fallibilism" by Stephen Hetherington in the Internet Encyclopedia of Philosophy
• "Fallibilism" by Nicholas Rescher in the Routledge Encyclopedia of Philosophy

表紙へかえる；朝日記240721 　Wiki英文翻訳　「可謬主義について　Fallibilism

朝日記240721 Wiki英文翻「可謬主義」つづき１

Wiki英文翻「可謬主義」つづき１

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１．無限回帰と無限進行　Infinite regress and infinite progress

哲学者　 Scott F. Aikinによると可謬主義fallibilismは無限回帰が欠落the absence of infinite regress.^[6]場合には適正なる機能を起こしえないというものである。その意味は、　 Pyrrhonist派の哲学者　Agrippa　に通常帰せられるが、すべて人間の探求human inquiryからの避けがたい出力inevitable outcomeであるべきであるという議論になる、それは人間すべからく、提案every propositionというものは正当化の手続きjustificationが要求されるからである。^[7] 　　　

無限回帰Infinite regressは回帰論 regress argumentのなかで取り扱っているが、臨界問題　problem of the criterion　および　 Münchhausen trilemmaの構成要素constituentが密接につながっている。

代表的な例としては、無限回帰とみなされるものとして、宇宙論的論議 cosmological argument亀の全方位丘下りturtles all the way downそしてシミュレーション仮説simulation hypothesisがある。

多くの哲学者は無限回帰にともなってついてくる形而上学的内包metaphysical implicationsと格闘する。この理由のために、哲学者はその回帰を止める探求において創造的creativeになった。

１７世紀において、英国の哲学者　Thomas Hobbes　は「無限回帰」"infinite progress"の概念を前面に置いた。

この意味によって、Hobbesは人間の性向を完ぺき perfection.^[8]への努力にあると捉えた。

　 Gottfried Wilhelm Leibniz, 、Christian Wolffのような哲学者および Immanuel Kant　はこの概念をさらに洗練させてきたようである。

そのKantでさえ、不死の生体種 immortal speciesにおいては完ぺき性への受容の展開力のの仮説可能性についての見解に動いたのであった。^[9]

 

350 B.C.Eにおいてすでに、ギリシャの哲学者　 Aristotleは可能力potentialと実際上の無限性 actual infinitiesとの間の差異を行っていた。

彼のこの言に基づいて、実際的無限性actual infinitiesは存在しないとした、なぜならそれらは逆説paradoxicalであるからとした。　Aristotle　は考えた、人間は有限集合finite setsにたいしてその要素を無限にくわえ続けることは不可能なことと考えたのである。　　

　これが彼をして、Zenoの逆説Zeno's paradoxes.^[10]　を拒否することにつながったのである。

可能的無限性potential infinitiesの適正なる例としては　Galileo's paradox 　と　 Hilbert's hotelの逆説　が思い当たる。

無限回帰infinite regressと無限進行infinite progressの概念こそがそれらをして可謬主義を保持し、これを活かすことになるのである。

　Elizabeth F. Cooke教授によれば、可謬主義fallibilismは不確定性uncertaintyを内包embraceしていること、そして無限回帰infinite regresssと無限進行infinite progressとは人間認知力human cognitionにおいては不幸なる限界となるのではなく、むしろ知識獲得 knowledge acquisitionの触覚となると。　

それらはわれわれに機能的functionalにして意味meaningfulある生命livesを与えるのである。^[11]

 

 

２．臨界合理主義　Critical rationalism

 

Main article: Critical rationalism

 

The founder of critical rationalism: Karl Popper

 

二十世紀の中葉において、幾人かの重要な哲学者が論理実証主義 logical positivismの基盤を批判しはじめていた。　

彼のその著The Logic of Scientific Discovery (1934)では、　Karl Popper　、臨界合理主義critical rationalismの祖であるが、かれは科学的知識scientific knowledgeというものは帰納的原理inductive principleからよりも変造偽造する推測falsifying conjecturesから成るのであり、そして可謬性falsifiabilityこそが科学的提案scientific propositionの判断基準criterionであると論じたのである。　

すべての主張all assertionsは臨時的provisionalのものであること、かつ、従って自然科学 natural sciences.^[12]のもとで認証grantedされるために、ひろく取られた結果のあらたな証拠new evidenceのひかりのもとで見直しrevisionされるべく開かれたopenものであるべきであるという要求claimである。

さらに　Popperは彼の臨界的合理主義critical rationalismを規範的normative かつ方法論的理論methodological theoryとして擁護したのであった、すなわちこの理論こそが、知識がはたらくためには、いかに　客観的objectiveであり、かつ心情独立mind-independentにあるべきかを教えるものであるとした。　　　

 

ハンガリーの哲学者　Imre Lakatos　はその線引きdemarcationの問題を規範査定問題problem of normative appraisal.として言い換えることによって理論を構築したのであった。　

Lakatos' and Popperの狙いはおたがいに似ていた、それは変造偽造性falsificationsを正統化justifyしうる規則rulesをみつけようとするものであった。

　Lakatosはしかしながら指摘した、それは臨界合理主義critical rationalismのみが理論theoriesの如何様なる変造偽造化falsifiedされうるかをしめすことができること、しかし、それは臨界合理主義critical rationalismにおいてのわれわれの信念beliefがどのように正当化justifiedされうるかは、省略omitsしていたのであった。

その信念beliefは帰納的証明原理inductively verified principle.^[14]を要求してくる。　

　Lakatosは　Popperに変造偽造化原理falsification principleが、帰納性inductionを内包していないときは正当化できないことを受け入れるよう迫ったとき　Popper　はそれに動じなかったのであった。^[15] 

 

　Lakatosの合理主義 rationalismへの臨界的態度critical attitudeは、彼が斯く呼ぶ臨界的可謬主義critical fallibilism.^[16][17]のための象徴emblematicとなってきたのである。　　

臨界的可謬主義critical fallibilismは鋭く教条主義dogmatism　に対立している一方で、ごく限られた分限の教条主義dogmatismをゆるしているといわれる。^[18][19]　

　Lakatosでさえ彼自身はその過去において臨界的合理主義者critical rationalistを通してきたのであるが、それは彼自身が　帰納主義者幻想inductivist illusionに反発しているときのことであった。そこでの幻想とは必然性consequencesからの真truthこそが公理axioms を正統化justifiedしうるということを指していた。^[16] 

まとめると、LakatosとPopperはふたつの立場の中、それぞれ一回ひとつをとったであるが、両者とも可謬主義fallibilismと合理主義rationalismに向かう二つの臨界的態度critical attitudeを保持し、その間を振動していたのである。^{[15][17][18][20]}　　

 　

 

　可謬主義Fallibilism　もまた哲学者　 Willard V. O. Quineによって採用されてきたが、その目的は、いくつかあるが、　分析と総合言明analytic and synthetic statements.^[21] 

との間の区分に向け攻勢をかけるためであった。

英国の哲学者　Susan Haack　は　Quine　に同意して、可謬主義fallibilismの本質がしばしば誤解されていると論じた、なぜなら、人々は誤った提案fallible propositionsを誤てる機関fallible agentsとして、またその逆をふくめて混同する傾向があるからである。　　

彼女は、主張した、それは論理logicというものは見直しrevisableができるものであること、その論理に分析性analyticityが存在しせず、そして必然性necessity（または　優先性 a priority　）が存在するからといってそれを以って論理的真logical truthsへとは向かわないという意味の主張なのであった。

彼女は斯くしてその提案propositionsそのものが、論理logicにおいて無謬infallibleを確信convictionすることに反対するが、同時に、agents機関の方は可謬fallibleでありうるとした。^[22]

臨界的合理主義Critical rationalist　Hans Albert はどのような真truthもそれが確実性certaintyであると証明することは不可能であることを論じた、それは論理的logicにも、また数学的mathematicsにでもある。^[23]　　

 

 

３．数学的可謬主義　　Mathematical fallibilism

 

Imre Lakatos, in the 1960s, known for his contributions to mathematical fallibilism

 

 

Imre Lakatos,は1960年代にmathematical fallibilismへの貢献で知られている。

　Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery (1976)では、哲学者　Imre Lakatos 　は数学的証明mathematical proofsを実施した、それは彼がPopperian "critical fallibilism".^[24] 「ポパー臨界可謬主義」とよぶものである。

　Lakatosの数学的可謬主義mathematical fallibilismは一般的見解としてつぎのようなものになる、すべての数学定理 theoremsは誤りになりうる。^[25]

　数学的可謬主義　はHegel, Peirce, そしてPopperのような哲学者によって保持された伝統的見解から乖離する。^[16][25]

　Peirce　は可謬主義fallibilism　を導入したが、彼もまた我々の数学的信念において我々は間違いを起こす可能性を織り込んでいたように見える。^[2] 　

 

　Mathematical fallibilismは、いま、数学的推測が真であると証明し得ないときでさえ、我々は真へのよき近似もしくは推定の何かを考えてよいという姿勢をもつために現れるものである。

この緊迫性 verisimilitudeともよばれるものは我々をして、数学における固有の不完全性 incompletenessの最中においても整合性を与えるのである。^[26]　

数学的可謬主義Mathematical fallibilismは　 擬似経験主義quasi-empiricismとは異なる、　後者の擬似経験主義が帰納主義 inductivismとの連携をしない、その先への展開していくのであり、様態としては集合理論 set theory.^[27] の基盤核心的重要なものであると考えられる。

数学の哲学において、可謬主義fallibilismの核となる概念は非決定性 undecidabilityである（これはisostheneia,ともまたがは "equal veracity"（等しく信じられること）という観念にも似ている）^[25]

用語としての非決定的"undecidable"にはふたつの種類がある。

最初のは　連続性仮説continuum hypothesisに関係している、これは  1873年に Georg Cantor^[28][29]によって提案されたのである。　

連続性仮説continuum hypothesisは無限集合infinite setsの性質としての非決定的解undecidable solutionsを許すものとしてあらわれたのである―その解とは或る構築的宇宙constructible universe では真であるが、他では誤りであるといったものである。

双方の解は　選択公理axiom of choice( ZFCとも呼ぶ)と結合した　Zermelo–Fraenkel set theory　axiomsからは独立independentのものである。

この現象はこれまで（連続性仮説からの独立性）independence of the continuum hypothesis.^[30] と呼ばれてきたものである。　

この仮説とその否定とも　ZFC 公理と整合していると考えられている。^[31]

沢山の注目すべき発見が連続性仮説の確立に先行してきたのである。

　1877年には、Cantorは対象化論議diagonal argument を導入して、二つの有限集合の基数性 cardinalityは等しいことを証明した、これはそれら一対一対応　 one-to-one correspondence.^[32]をさせたのである。　

 

対角化は　Cantor定理Cantors theoremにおいて再び登場した、それは如何なる数え上げ集合countable set の 冪集合power setも、さらに高次の基数性higher cardinalityをもたねばならないということを証明するためであった。

その　冪集合の存在性はその公理axiom of power set　において仮定されていたのである；　Zermelo–Fraenkel 集合理論の活きた部分である。

1899年には　Cantor's paradoxが発見された。

それはつぎの仮定である、there is no set of all cardinalities.（すべてが基数である集合は存在しない）というものである。^[33]

二年後に博覧強記なる学者であるBertrand Russell(polymath Bertrand Russell )は　 普遍的集合universal setの存在性は無効であると示唆する。これは　Russellの逆説Russell's paradoxから来るものであった、その逆説とはno set can contain itself as an element (or member).（いかなる集合も　それ自身を一要素として含むことはない）というものである。

 

この普遍集合universal setとはaxiom schema of separation 公理または　 axiom of regularity公理を使うことによって否定されるものである。　普遍集合universal setとは対照的に、　冪集合power setではそれ自身を包含containしないのである。　

それは数学者　 Kurt Gödelが証明する1940年まで待つことになったのである、それはいわゆる　 diagonal lemma　を適用することによってなされたのであって、

連続性仮説continuum hypothesisは拒否され得なないというものである^[28]、そして1963になって力量の高い数学者 Paul Cohenが、 forcing方法を通じて、continuum hypothesis連続性仮説もまた証明し得ないということを顕わにしたのであった。^[30]

この疑いの感覚sense of suspicionは、　ZFCの整合性に対する強固な信頼に結びついたもとで、　数学的可謬主義mathematical fallibilism.^[35] と気脈を通じているものである。

 

 

数学的可謬主義者Mathematical fallibilistsは新しい公理、それはたとえば射影的決定性の公理axiom of projective determinacyが、ZFCを改良してくれるかもしれないとする、だがしかし、これらの公理は連続性仮説continuum hypothesisの従属性dependenceのためには使えないのである。^[36]

非決定性undecidabilityの第二番目の種類は、計算可能性理論（もしくは再帰性理論） computability theory (or recursion theory)との関係において使われるのである、これは単なる声明文statementsではなく、特定の決定問題decision problemsに適用される；決定可能性decidabilityの数学的設問なのである。　　

非決定問題undecidable problem は計算問題computational problemの典型であり、そこでは設問の無限集合countably infinite setsがあらわれる、それぞれが有効なる方法 effective methodを要求してくる、その方法とは出力an outputがイエスかノー"yes or no"のどちらかを決定するためにあって、そこには正しい答えを常に提供するような計算機プログラム computer program または チューリング機械Turing machineも存在していないのである。

どのようなプログラムもときには誤った答えを与えるし、またいかなる答えにも到達せずに永久に計算続行することになろう^[37]。非決定性問題undecidable problems の有名な例は、　halting problem　、　Entscheidungsproblem　そして　 Diophantine equationの非解到達性である。

通常的には、非決定問題undecidable problemは再帰集合recursive setから引き出されるのであり、これは非決定言語 undecidable languageで式化されるのであり、そしてTuring度 Turing degree.^[38][39]によって測らさるのである。　

非決定性Undecidability、これは計算科学 computer science と数学的論理mathematical logicに関してであるが、これもまた非解性unsolvability もしくは非計算性non-computabilityとも呼ばれている。

非決定性undecidabilityと非確実性uncertaintyとは単一でも同一でもない現象phenomenonである。数学定理というものは、形式的に証明することを可能にするが、数学的可謬主義者mathematical fallibilistsによれば、残念ながら未だに定理は与えられないままにある。^[40] 　

たとえば、いま連続性仮説continuum hypothesisの独立性の証明を取り上げよう、もしくはさらに基盤的に、対角項論議diagonal argument.の証明を考えてもよい。

この節の終わりにあたって、非決定性undecidabilityの種類は可謬主義fallibilismへのさらなる微妙なるニュアンスを加えることになるが、これらは基礎的な思考実験thought-experiments.^[41]を与えることによってである。　

 

 

４．懐疑主義の哲学　Philosophical skepticism[edit]

主課題　Main article:　 Philosophical skepticism

 

 

可謬主義Fallibilismは局所的もしくは全体的な懐疑主義と混同されるべきではない、懐疑主義skepticismとはどのような種の知識も未達unattainableという思想viewである。

しかしわれわれの知識の可謬性fallibilityは―それがいかに厳しく試験に堪え得た想像から得た理論や見解ものであったとしても　その知識すべてが想像から得たものということをもって―懐疑主義や相対主義の軍門のもとの位置付けで記述されてはならないのである。

 

 

われわれが誤りをおこす事実から、そして我々を誤まりから守ってくれるような真があるとしても、その判定基準criterionが存在しないという事実から、理論選択が任意であってよいとか、非合理であってよいということにはつながらない；またわれわれが学ぶことができないということにも、真理により近づくことができないことをも意味しない；知閾は成長しないということも意味しない。

 

可謬主義は正統（適法）とみとめた認識legitimate epistemic が、正当（根拠）性justificationsにおいて誤った信念beliefsへ導くということを主張しているのであり、一方で学術的懐疑主義academic skepticism　は正統なる認識であるからといってそれが正当など何も存在しないことを主張している(acatalepsy認識不可能性)。　

— Karl Popperはいう；

可謬主義はepochéや、判断の保留とも異なるものであり、　そのことは　 Pyrrhonian skepticism　への意味するものとつながるのである。

 

５．限界判断主義　Criticism[edit]

 

ほとんごすべての哲学者は今日、そのことばの意味において可謬主義である。知識に絶対的確実性を求めるものはなく、また科学が主張することが非修正のものであることを否定するものはいないが、21世紀においてある哲学者たちは非可謬性（つまり絶対性）知のための論議を続けている。^[42][43][44]

歴史的には、西洋の哲学者のおおく、　Plato 　から　Saint Augustine　，René Descartesまである人の信条human beliefsは非可謬的知infallibly knownであることを論じてきた。

　John Calvin　は他の信条へむかう種の神学的可謬主義theological fallibilismを取り入れた。^[45][46] 　

尤もらしい信条beliefs候補は論理的真logical truths（「Johnは民主党員であるかまたはJohn民主党員ではない」）、一見immediate appearances（「わたしがみたのはブルーのリボンだったようにおもう」）、そして頑固incorrigibleなる信条（「私は考える、したがって私は存在する」）がそれである。^[22]　

しかしながらその他の多くの哲学者は可謬なる信条でさえ取り入れてきたのである。

 

　

表紙へかえる；朝日記240721 　Wiki英文翻訳　「可謬主義について　Fallibilism」

朝日記240721 表紙・Wiki英文翻訳 「可謬主義について Fallibilism」

 

朝日記240721 　表紙・Wiki英文翻訳　「可謬主義について　Fallibilism」

開通　2024-7-21

 

翻訳可謬主義について

Fallibilism

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翻訳者　荒井康全

Yasumasa Arai

July,21,2024

 

＝＝＝＝訳者メッセージ

いまわれわれが持っている知識というものは常に真ではなく、誤りに転じるものであるという。緩急の差があるが、それが常態であるということから、人類は知の変化に常に取り組むことが人間生存の基本的態度となる。堅固にみえる普遍知から試行錯誤を経た可謬主義Fallibilismによる知への哲学的パラダイム転換論である。まあ、落ち着けといえないこともないが、AIなど人工知能による知識獲得と自動行動強制が現実加速するなかで、実は人間と機械との間の知そのものが、乖離していくことがあるか。実はその乖離そのものが見えなくて何かおかしいとおもいながら流され是認させられ見過しまう、そのようなことに対する気づきの問題である。可謬主義Fallibilismは人間はすべてわかっていて動いているわけではない、誤るもの、修正に気付くことは恥ではないという意識姿勢である。一見非可謬にしてやがて高圧的にいたるや、その「機械知性」への畏怖、それに対する「人間意識」の自身喪失など基本問題への意識回帰が問われているのだといっておく。およみください。

＝＝＝＝＝＝

 

Outlines:

Charles Sanders Peirce around 1900. Peirce is said to have initiated fallibilism.

Originally, fallibilism (from Medieval Latin: fallibilis, "liable to error") is the philosophical principle that propositions can be accepted even though they cannot be conclusively proven or justified,^[1][2] or that neither knowledge nor belief is certain.^[3] 

The term was coined in the late nineteenth century by the American philosopher Charles Sanders Peirce, as a response to foundationalism.

Theorists, following Austrian-British philosopher Karl Popper, may also refer to fallibilism as the notion that knowledge might turn out to be false.^[4] 

Furthermore, fallibilism is said to imply corrigibilism, the principle that propositions are open to revision.^[5] Fallibilism is often juxtaposed with infallibilism.

 

概要

 

　1900　のころの　Charles Sanders Peirce　、Peireceが可謬主義fallibilismを創案したものといわれている。　

もともと、可謬主義（　 Medieval Latin: fallibilis, "liable to error")　）は哲学的原理であり、それは提案propositionsというものが、最終的に証明されえない、正当化 justified,しえない場合でさえも受け入れることができること^[1][2]、もしくは知識 knowledge としても信念beliefとしても確定的certain.^[3] ではないことにたいして、これを哲学的な原理philosophical principleとするものである。

この用語は基礎付け主義foundationalismへの呼応として、これは１９世紀の後半、アメリカの哲学者である Charles Sanders Peirce　によって鋳出てきたものであり

理論家たちは、墺-英の哲学者である　 Karl Popper　を支持して、「その知識は誤まりに転じるかもしれない」（knowledge might turn out to be false）という概念として可謬主義をもとらえている。^[4]

さらに、可謬主義は修正容認主義をcorrigibilism（修正可能主義）含むと言われる、提案類は見直し吟味revisionのために開かれているとするのである^[5] 。可謬主義fallibilismはしばしば非可謬（絶対）主義 infallibilismとの意識的対比revisionのもとに置かれている。

 

目次

１．無限回帰と無限進行　Infinite regress and infinite progress

２．臨界合理主義　Critical rationalism

３．数学的可謬主義　　Mathematical fallibilism

４．懐疑主義の哲学　Philosophical skepticism[

５．限界判断主義　Criticism

朝日記240721 Wiki英文翻「可謬主義」つづき１

 

参照・文献

朝日記240721 Wiki英文翻「可謬主義」つづき２

 

朝日記240705 （その１） １．生い立ち 「翻訳チャールズ・サンダース・パース」

朝日記240705  （その１）　１．生い立ち　「翻訳チャールズ・サンダース・パース」

朝日記240705  （総表紙・目次）「翻訳チャールズ・サンダース・パース」

―本文―

 

１．生い立ち　Bibliogaraphy

早期での人生　Early life

 

Peirceの生誕地は、いまのLesley Universityの人文科学大学院があるキャンパスのなかである。　Peirceは Cambridge, Massachusettsの３Phillips Placeに生まれた。彼の両親、母はSarah Hunt Mills と父はBenjamin Peirceであり、父はHarvard Universityで数学と天文学 astronomyの教授であった。^[a] 

 

Charlesは１２歳のときにRichard Whatelyの論理の要素Elements of Logic、これは当時このテーマでの英語での代表的テキストであった。それが論理と理性的なものに生涯魅せられることになる。^[14]　十代の後期から以降、彼は神経状態の問題を患ったのであった、当時「顔面神経痛」とよばれ、今日では「三叉神経痛」trigeminal neuralgiaと診断されるものであったであろう。

彼の伝記作者である　Joseph Brent　は、苦痛のなかにあるときは、「彼はまず、ほとんど馬鹿になって、そして攻撃的になって、風邪ひき状態になって、落ち込み、極度に疑いぶかくなって、目の前にちらちらするものにいらだった、そして激しい癇癪を起した」という^[15]。　そのことは彼の後の人生を社会的孤立にしてしまったのかもしれない。

 

教育　Education

 

Peirceは芸術学士と芸術修士を取得するためにHarvardに行った。　　年に　　校が化学学士とHarvardの最初の summa cum laude chemistry 学位を修得した。^[16]かれの学術記録はほかに際立つものがなかった。

Harvardでは、つぎの人たちとの生涯の交友の始まりであった； Francis Ellingwood Abbot, Chauncey Wright, and William James.^[18] 

彼のHarvardでの指導教師のひとりは Charles William Eliotであったが、彼はPeirceについての好ましからざる見解を形成することになった。これは運命的であったのは、EliotがHarvardの学長である期間1869–1909がPeirceの活躍期間のほとんど重なっていたからであり、該大学でのPeirceの採用は何度も拒否される結果となった。^[19]

 

合衆国沿岸測量　United States Coast Survey

Peirce in 1859

1859 から1891の間、Peirceは途切れながらも合衆国沿岸測量がもつ多岐の科学部門に採用されたのであった、これは1878年に　United States Coast and Geodetic Survey,^[20] と名称があらたになった部門である、ここで彼は彼の隠然たる影響力からの保護を結果的には享受したのであった、それはその父の　1880.^[21]の死をもって終わる。この部局では、彼はおもに測地学geodesy と重力測定gravimetryの分野において　振り子　を使って地球の重力性における局所的な変動を決定するものであり、振り子pendulumsの使用取り扱いの上の向上を目指すものであった。　

 

 

南北戦争　American Civil War

 

この雇用はPeirceをして南北戦争 American Civil Warへの任務をになう義務から免除した；このことはこれをして彼の立場をきわめて不自然な位置awkwardにすることになった、丁度、南部 Confederacy.^[22]に対して同情的な　ボストン・バラモン階級Boston Brahmin　のエリートとしてになる。　

　Peirce家のだれも戦争ボランティアや、登録することはなかった。　Peirceは白人優位は所与のものであり、奴隷制は自然であるとする家系に育ったのであった。^[23]

Peirceの父は分級主義secessionistとして自身を記述した、その戦争が起きるまでそうであったが、勃発後は北軍Union に味方し、北部の戦争事前を先導する衛生関与Sanitary Commissionに献金したのであった。

Peirceは論理の伝統的形式が非現実的である例示としてつぎの三段論法syllogism 野礼二を好んだ（第一前提にすでに議論になるべき結論を仮定しているassumes the conclusion):^[24]）；

すべてのひとは政治的権利において平等である。

黒人はひとである。

したがって、黒人は白人の政治的権利において平等である。

 

 

欧州への旅行　Travels to Europe

 

彼は1867年１月に　米国人文科学学術院American Academy of Arts and Sciences 　の専任研究員に選出されたのであった。^[25]

調査団は

五回にわたり欧州に彼を派遣した。まず　1871年に日蝕solar eclipseの観測にグループの一員として送られた。そこでは、 Augustus De Morgan, 　William Stanley Jevons, および William Kingdon Clifford,^[27] に巡り合ったことになる。かれらは英国の数学者であり、かつ論理学者であり、その思考方式が彼自身のものと近いものであった。

 

 

ハーバード大学天文台　Harvard observatory

 

1869 から1872年に彼はハーバード大学天文学観測所の助士として雇用された、その主要な業務は星f starsの光度と銀河系Milky Way.^[28]の形状の決定に関する重要な任務であった。　

　　1872年に、かれは　形而上学クラブ Metaphysical Clubを設立した、これは会話論議的哲学クラブであり、ここにはPeirceはじめ、未来の最高裁判所判事Supreme Court Justice 　Oliver Wendell Holmes Jr.、哲学者にして心理学者 William Jamesがおり、これらはJanuary 1872年１月、 Cambridge, Massachusettsにて設立、December 1872年１２月に解散している。

このクラブの他のメンバーは Chauncey Wright,　 John Fiske, 　Francis Ellingwood Abbot, 　Nicholas St. John Green, およびJoseph Bangs Warner.^[29]　ここでの検討議論はPeirceのプラグマティズムの観念を実質的に生むことになった。

 

国立科学アカデミー　　National Academy of Sciences

 

Peirceの球を正方形への射影法は赤道上の孤立した４点を除いて角度を真に保つkeeps angles true ことができる、そしてこれは　 Mercator projection　よりも少ない尺度変化scale variationを持つものである。これは　 tessellatedすることに成り；すなわち辺と辺とを連続的につなぎわせることで済むのでコピーをつくりやすい利点をもっている。

 

　1877年　４月20日に、彼は　 National Academy of Sciences.^[31]の一員として選ばれた。　1877年には、彼はメートル尺を測るに然るべき周波数の光の波長の大きさをつかうことを提案して、この定義の系統は　from 1960 to 1983の間採用されている。

 

　1879年にPeirceは　 Peirce quincuncial projection　を開発した、これは　H. A. Schwarzの　1869 conformal transformation of a circle onto a polygon of n sides　によって啓発されたものであった（　Schwarz–Christoffel mapping　として知られている）。

 

 

 

1880 年から1891　年まで　1880 to 1891

 

1880年代は、Peirceの官吏の経験での詳細は顕著ではなくその質そして納期においても光彩を放たなかった。

Peirceは数か月で完了すべき報告書の作業に年単位の時間を費やした。^{[according to whom?]} 

その間彼は百科事典 Century Dictionary.^[33]の項目執筆をした、それは1883–1909にわたり、哲学、論理学、科学、そして他の項目、究極的には数千項目に達した。

1885年に Allison Commissionの調査でPeirceを無罪としたが、監督Julius Hilgard と他の幾人かの沿岸測定要員に対して公的資金の不適使用の件をもって罷免へとつながった。

1891年にPeirceは 監督Thomas Corwin Mendenhallの要求によって沿岸測定から回顧されたのである。^[35]

 

 

ジョンホプキンス大学　Johns Hopkins University

 

1879年にPeirceは Johns Hopkins Universityでの論理学の講師として採用された、この大学は当時哲学　（Royce and Dewey がHopinsでPhDを終わっていた）や心理学（G. Stanley Hall が教鞭を取っており、 Joseph Jastrowが研究にあった、後者は後にPeirceとの記念碑的経験研究の共同著者となる）そして数学（　 J. J. Sylvesterはそこで教鞭をとっていた、彼は数学と論理学でのPeirceの研究業績についてすでに賞賛していたのであった）のようなかれが興味をもつような分野でつよい部門をもっていた。　

彼のStudies in Logic by Members of the Johns Hopkins University (1883)には彼自身と Allan Marquand, Christine Ladd, Benjamin Ives Gilman, とOscar Howard Mitchell,^[36] による研究成果が含まれている、そのうちの幾人かは当時彼の大学院学生であった。^[7] PeirceのHopkinsでのこの非専従地位こそは彼が得た唯一の学術世界での獲得したものである。

 

BrentはPeirceが決して疑われることのない何かについての記述を残す、それは彼の学術界での採用、地位、そして科学的尊敬性についてはその時代の力あるカナダ⁻アメリカ人科学者の表にあらわれない反対によって妨害をうけた、その名はSimon Newcombであった。^[37] 

NewcombはPeirceの父がお気に入りの学生であった；「疑いなく輝いた才能」であり、「あの映画Peter Shaffer's Amadeus　での　Salieri の彷彿するそれであった、Newcombもまた自らが天才ではないことを知悉する才能は十分にもち、そしてそれを有する誰かを 憎む狭量性をも十分備えていた」

加えて、「つよい信仰心と文字通りの厳格な道徳基準のキリスト者」であったことから彼がPeirceのその個人的欠点にこだわったことによって道が閉ざされた」.^[39] それに対して、Keith Devlin はPeirceの業績が彼の時代をはるかに先のものであったのでその時代での学術的世界から評価をうけることはなく、そしてそれが彼の　この世界での定席を獲得することの障害となってしまっていたと確信したのであった。^[40]

 

個人の生活　Personal life

Juliette and Charles by a well at their home Arisbe in 1907

井戸端にて、ジュリエッタとチャールズ、かれらのホームのあるアリスビ

 

Peirceの個人生活は疑うことなく彼の職業的成功に不利に作用した。彼の最初の妻　 Harriet Melusina Fay ("Zina"),　は　1907年　に彼のもとを去った。^[41] 

Peirceは、法的には結婚のまま、1883年に he married Juliette.^[45] と深い関係になった、彼女の姓はFroissy  およびPourtalai,^[42]として様々にあり、そして国籍的には確かではない（彼女はフランス語を話した）^[43] 

彼の　　との離婚は　1883年に最終的に成り、彼は　Juliette.と結婚した。^[45]　その年、NewcombがJohns Hopkins trustee財団の理事にそのことを指摘したのであった、一方Johns Hopkinsの職員がある女性と旅行した、その女性とは彼は結婚していなかった；必然的にスキャンダルが　1884年１月.^[46]　　彼の解雇へとつながったのであった。　

その後においては、Peirceは様々な大学での学術的身分雇用を求めたが、成功することはなかったのである。^[47]　彼にはいずれの結婚によっても子供は恵まれなかったのである。

 

後の生活と窮乏　Later life and poverty

Arisbe in 2011

Charles とJuliette Peirceの墓石 grave

 

 

　1887年にPeirceは彼の両親からの遺産の一部の Milford, Pennsylvaniaの田園地　2,000 acres (8 km²)に暮らした、これからは経済的な資を得ることはなかった。^[49]

　　に彼の設計で農家邸を改装した。^[50]　Peirceはそこを「Arisbe」と命名した。そこに彼らはほとんど中断することなくかれらの生涯を過ごしたのであった。^[51] 

Charlesは彼の晩年の二十年は冬の暖、およびその地のパン屋が提供してくれる固くなったパンを買う余裕に窮していた。

文房具にも事欠き、彼は書き古した原稿の裏 verso sideに執筆した。

暴力沙汰や不払い債務からおきる令状は彼をしてNewYork市にしばらく逃亡せざるをえないこともあった。^[53] 

幾人かのひとびと、彼の兄弟である　r James Mills Peirce^[54]　、そして　 Gifford Pinchotの彼の隣人、親戚がPeirce の借財を清算し、そして税や抵当権を払ってくれた。^[55]

Peirceはいくつかの科学と工学コンサルタントをしそして沢山の書きものをのこしている、これは貧しい収入であった。主に　The Nation　（この編集者はWendell Phillips Garrison　であり、彼は友誼に篤かった）のための百科事典の項目書きとレビューであった。

彼は　 Smithsonian Institution　のための翻訳に携わった、これは監督　Samuel Langley　の配慮であり、Peirceは　Langleyの研究である動力飛行に関する実質的数学計算であった。

 

金策のためPeirceは発明に試行した。^[56]

彼はいくつかの著述を試みたが完成しなかった。^[57]　 1888年に　Grover Cleveland 大統領は彼を　試験委託者 Assay Commission.^[58]に指名した。

　1890年に彼はChicagoのJudge Francis C. Russell　にひとりの友人と称揚者を得たのであった、このひとはPeirceを Paul Carus と Edward C. Hegelerに紹介した。このひとたちは新分野開拓となる米国哲学誌　The Monistのそれぞれ編集および所有者であった、ここに実際にPeirceは１４報文を投稿している。^[60]

彼は　哲学と心理学事典James Mark Baldwin's Dictionary of Philosophy and Psychology (1901–1905)　に沢山の項目テキストを書いた；彼に宛てられてそれらの半分は実際には彼への発注監督者である　 Christine Ladd-Franklin　であったことが判明している。

 

彼は　1902年に新設された　Carnegie Institution 　にグラントを応募した、彼の生涯の仕事を記述する系統的著述を仕上げるためであった。その応募は闇に葬られた；彼の仇敵　　であり　Carnegie Institution　の理事会のメンバーであり、そしてその理事長はPeirceがJohns Hopkinsを解雇されたとき以来の該大学の理事長でもあった。　

Peirceがこのような絶望的な時機にたすけるための尽くしたのは彼の旧友である　Will to Believe (1897)　であった、彼の　(1898 and 1903).^[63]　をPeirceに捧げ、かつPeirceが収入を得るべくHarvardにて、そしてその近傍にて講義コースシリーズを二つを提供したのであった。　

もっとも重要なことは　1907　から毎年、Jamesが逝去する　1910　まで、Jamesはボストンの知識層である友人たちにPeirceのための資金援助を要請してきたのであった；その資金はJamesが死去したのちも継続されたのであった。　

PeirceはJamesの長男を彼の遺産相続として繰り返し記した、それはJukietta PeirceがPeirce自身よりも早逝した場合を条件としていた。^[64]　それは次の点でも表れていた、彼はそのミドルネームに（英語で"St. James"を意味する）"Santiago"を使っていたからである、しかし1890年の初期での印字ではCharles Santiago Peirceとして使っている。さらなる詳細についてはCharles Santiago Sanders Peirce をみよ）

 

　

逝去と遺産　Death and legacy

 

Peirceは　 Milford, Pennsylvaniaにおいて貧しく死んだ、彼の未亡人が２０年彼の骨壺を　Arisbeに身元に置いた。

　　に、ペンシルバニア知事　 Gifford Pinchot　はJuliettaのためにMilford共同墓地へのアレンジをし、Peirceの遺灰のもとにJuliettaを埋葬したのであった。^[65]

Bertrand Russell (1959)は、「疑いをこえて彼は１９世紀後半のもっともオリジナルな精神のひとりであったしそして確実にアメリカの思想家の最大偉大なるももであった」と書く。^[66]　RussellとWhiteheadの数学原理　Principia Mathematica,　は1910 年から 1913年の出版であったが、Peirceについては何ら触れることがなかった（Peirceの業績はさらに後まで広くはしられていない）。^[67] 　

1964. N. Whiteheadは、1924年にHarvardに着いたすぐにPeirceの未公開原稿のいくつかを読んでいる一方で、衝撃をうけた、それはPeirceが如何に彼自身の　"process" thinking.　を予測していたかを知ったからであった。（Peirceとプロセス形而上学process metaphysicsについて、　Lowe 1964.をみよ）^[28]

 

Karl Popper はPeirceは時代をこえてのもっとも偉大なる哲学者のひとりとして評価した。

それでもなおPeirceが達成したものは直ちには調べられていない。かれの同時代の　　は彼を賞賛しているし、そして William James と Josiah Royce^[69]も、そして　 Columbia大学の Cassius Jackson Keyserそして C. K. OgdenもPeirceについて敬意をもち、なおその影響についてはかり知れないと記している。　

Peirceについて最初に専門分野に対して注意を喚起させた学者は　Royceの学生であったMorris Raphael Cohen　　であった、かれはPeirceの著述の集積Chance, Love, and Logic (1923)　　編集者であり、Peirceの逸散している著述資料の最初の編成の著者であった。^[70]

John DeweyはJohns Hopkins.^[7]でのPeirceの学生であった。1916年以降、Deweyの著述には尊敬をもってPeirceを繰り返し称揚した。

1938年の彼の Logic: The Theory of Inquiry が多くPeirceに影響を受けている。^[71] 　Collected Papers (1931–1935)の初版の六つの巻はPeirceのもとでの研究時代へのもっとも重要な業績であった、そしてCohenは必要なファンドを起こすことを可能にせしめた。^[72] ；しかしながらそれはつぎの段階への出発をうながすことにはならなかった。

 これらの巻の監修者であったCharles Hartshorne and Paul WeissはPeirceの専門家ではなかった。

二次的文献の初期の成果となったのはBuchler (1939), Feibleman (1946), and Goudge (1950),  Arthur W. Burks の1941PhD論文(彼が巻７と８を編纂した),そしてWienerとYoung(1952)によって編纂された研究であった。

 

 

　Charles S. Peirce Society　が　1946年に設立された。ここでは季刊の学術的報文集として1965年以降のPeirceのプラグマティズムと米国哲学の報文が掲載されている^[73] (See Phillips 2014, 62 for discussion of Peirce and Dewey relative to transactionalism.)

1943年までにPeirceへの評価は、少なくとも米国においては次のようなものである、　Webster's Biographical Dictionary の記述において、Peirceは「彼の時代でのもっともオリジナルな思想家でありそしてもっとも偉大なる論理学者であるとみなす」ものである。^[74]

1949年に、数学史家である　Carolyn Eisele (1902–2000)　は、歴史資料の調査のなかで偶然にPeirceによる自叙伝的書簡に遭遇した。彼女は以降　四十年に亘る　Peirce研究がはじまり、ついに彼女をして彼を「数学者ならびに科学者」の最高峰の位置Eisele (1976, 1979, 1985)に至らしめた。　

1960年代にはじまり、哲学者と歴史家のPeirceに関する権威ある研究が現われ、特に historian of ideas Max Fisch (1900–1995)が顕著である。(Fisch, 1986).^[75]　　

MaxFischはそこに1983年の彼のPeirceの思想の真迫性impactについて質の高い相当数の調査報文をそこに収めている。

Peirceは国際的な追従者を増やしていった、大学の研究センターが顕著でありPeirce研究とプラグマティズムpragmatism への貢献である、それは、ブラジル　(CeneP/CIEP)　、フィンランド　(CeneP/CIEP)　、ドイツ　(Wirth's group, Hoffman's and Otte's group, および Deuser's と Härle's グループ^[76])　、フランス　(L'I.R.S.C.E.),　、スペイン　(GEP)　そしてイタリア　(CSP).　である。　

 

彼の著述はいくつかの国への翻訳が行われてきており、それはドイツ、フランス、フィンランド、スペイン、そしてスウェーデンである。1850年以降はフランス、イタリー、英国、そしてブラジルの学者たちの注目が続いている。

長い年月、北米の哲学部門でPerceへもっとも貢献してきたのはトロント大学 University of Torontoであり、特にThomas Goudge and David Savanの指導力に負うところおおい。

近年では、米国でのPeirce学者はIndiana University – Purdue University Indianapolis, さらにPennsylvania State Universityに集合しており、これらがPeirceの研究再編基点を形成している。

現今では学術的哲学の分野の以外の研究者がPeirceの理念に大きな関心がおかれている。

この関心は産業、技術、情報機関、そして軍；そして相当数の機関、研究所、企業、そして研究機関においてであり、そこではさらにPeirce概念の厳密化への展開へと研究の進展がおこなわれている— Robert Burch、2001年から 2010年（updated ）^[20]

近年では、Peirceの記号に関する三分法trichotomy はマーケッティングや設計分野でさらなる利用法に目が向けられている。

John DeelyはPeirceは モダニズムthe "moderns" の最後、そしてポストモダニズムの最初"first of the postmoderns"ち書く。彼は、Peirceの記号doctrine of signsに関する宣言はポストモダニズム時代の黎明への貢献として評価した。　

Deelyはさらに、「Peirceは Augustineを以ってカトリック世界の聖師父the Western Fathersの最後、そして中世の始めthe medievalsとするのと類似的な位置付けとして立つ」と付言している。^[77]　

 

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朝日記240705  （総表紙・目次）「翻訳チャールズ・サンダース・パース」

 

朝日記231203 ”圏論は宗教”形而上学の復権と陥穽についてこの数学者はかたる

朝日記231203 ”圏論は宗教”形而上学の復権と陥穽についてこの数学者はかたる

とりあえず、ご紹介します。

圏論は宗教。はまり過ぎないように。

つぎの動画は、高校生向きの圏論紹介です；

https://www.youtube.com/watch?v=D2GU4cmm3Ys

 

さらに以下の動画をご紹介します；

時間と自己の基礎構造　圏論的アプローチ

田口茂・西郷甲矢人

https://www.youtube.com/watch?v=9lVbGz35BdE

時間と自己について　つまり意識について数学的構造の類似性から

その存在を対象化するというものとしておきます。；

 

荒井メモ　

この動画でのシンポを聞いた私のメモです。

　これは田口茂さんと西郷甲矢人さんがプレゼンターの公開資料でした。

前者はフッサールの現象論の説明からみると哲学者で、後者は圏論が専門の数学者のようです。

すこし考えてから感想と所見を書こうかとおもいますが

講義のあとの質疑応答のkeywordsをあげ、あと私の感想を記述します；

 

集合論と圏論

トポロジー（関係記述の幾何学）と代数的トポロジー（代数的記述のトポロジー）

圏論の構成：対象、関取、自然変換

対象　　（例）対象aコップの清水にインク滴、 対象b　ひとのうわさ

圏　　　（例）圏A　経験（現象）　対象a (コップの清水にインク)の色のひろがり

　　　　（例）圏Ｂ　対象b　（ひとのうわさ）のひろがり

　　　　（例）圏C　拡散をあらわす数学式；圏Aに対応する内容（対象）への入出力の記号論理関係の記述

関取　　圏と圏の関係

　　　　（例）圏A　と圏Ｂとの類似対応関係の検証

自然変換　

　　　　（例）（圏A　and/or  圏Ｂ） 対応を　圏Ｃとして対応記述（拡散という認識体とし；モノイドとして理論知識化される）

　　

　今回の講義の数学者側からの説明は　まずモノイドありきであった。これは上述のごとく圏論の出自は集合理論からであり、これを代数的記号化する発想からくるものである。つまりもともと考える関心の現象の母集団の集合体モノイドがあってそのなかでの各小集合体（各圏）間の大小、順位の包摂関係を論じる位置付けからきていると理解する。

あと質疑応答でモノイドの説明が形式／内容の次元で曖昧で理解できなかったという指摘がだされた。

たとえば自我／自己でモノイドを括っているが自我と自己という内容的な差異にまで説明が至ってなく、人間の原集合として自我といいうモノイド内に各「私」つまり自己集合が小集合体としてあるというレベルで説明が終わっている。（位相空間上の問題）

またモノイドとしての自己が時間的に変化をうけていく体（時系列体）が母体モノイド内の小集合（時間的圏系列）として括っていることは想定できたとしても具体的次元での説明に至っていない。モノイドもしくは圏系列としての具体性にとぼしいという指摘があった。（位相時間上の問題）　これにたいしてperspective性の視点の説明が欠落をみとめていた。

私荒井がもっとも関心あるところは、

１．説明者側としては現象形態とトポロジーの解明、たとえば意識現象問題として、圏と圏間での入出力の複雑なネットモデルの構築、関係領域内ネット上のニューロン発火点における信号流方向で、その再帰性（信号ループ）やフィードバック経路などでの数学的威力の可能性を語りたかったのではないかと思ったが期待しすぎであったか。しかし数学者側から　信号矢印の逆流操作化（reversiblity)がひょっこと口からあふれたことに、耳をそばたてるものがあったことを告白する。　Julio TononiのIIT（統合情報理論）で意識の情報化システムの研究が世界的に注目されている。

２．たとえば小脳系などのもつ信号のstraight forward性が、一方の大脳系での認知獲得としての信号ループの検証やそのループ信号の逆流的操作transformationが脳内整理としての存在が現実に発見されているのか、あるいはそれを検証しつつある状況にあるのかに深い関心をもつものである。つまり人間の学習メカニズムの解明を意味するのでありこれの解明からくる実用上とくい技術進歩、あるいは技術覇権的な意味合いは昨今重大とみているからである。　意識は思考と感情をふくむものであり、人類文明の本質的課題であるのであるが、文明間での人類の生存次元でとらえなければならいないのは残念であるといっておこう。

３．圏論は新興宗教かと過熱する空気に警告は啓示的である。AIからの出力が権威を装って、その判断根拠が膨大になり、根拠のグレードが混交し、結果として全体の判断が誤ってしまう危険性が現実にあるとおもう。人間社会でとわれるのはAsk the quetionにあり、Ask the answerではないことを痛感するものである。

 

 

 

参考文献としては以下をとりあえずあげておきたい；

土谷尚嗣　クオリアはどこからくるのか？　岩波書店

最新の脳科学と意識の理論から予測する人工知能（AI）の意識の可能性について　学士会誌No.961(2023-IV)

 

圏論に関する一般向けの解説としては以下をあげておきたい；

Category theory - Wikipedia

 

意識の圏論的理解としては以下を上げたい；

土谷・西郷圏論による意識の理解　26_462.pdf

26411.dvi (jst.go.jp)

今日の絵がこれです；

朝日記231114 歴史資料 開戦詔書原文

 

朝日記231114 歴史資料　開戦詔書原文

　下記、朝日記の補足資料としてのページである。　

朝日記231108　橘樹住香　秘帖ひすれかをりやまくさ

出典　iwakura 　Panpsychism,From Wikipedia, the free encyclopedia