7 コメント（10/1 コメント投稿終了予定） コメント日が 古い順 | 新しい順 幾何 (ひょう) 2008-12-19 21:23:55 求積問題です。三角形ABCの内部に点Pを取り、直線BPと辺ACの交点を点Q、直線CPと辺ABの交点を点RとしたところAP=6cmBR:RA=AQ:QC=BP:PC=2:1となった。このとき、三角形ABCの面積の最大値を求めよ。 返信する 座標系にあてはめての (ハル) 2008-12-20 12:12:33 力技です。（笑）二次関数の最大値の問題になりました。皆様の解法で勉強させて頂ければ幸いです。△ABCの最大値＝４２答だけですみません。 返信する 同じく力技 (Ｍｒ.ダンディ) 2008-12-21 16:04:35 難しい問題ですね。結果はハルさんと同じになりました。（途中計算の都合上、AP＝5 として、最後に6/5倍に拡大したいと思います）APの延長とBCの交点をＳとすりと メネラウス,チェバの定理より、BS：SC＝4：1 AP：PS＝5：2 となり PS＝2 となります。CS=a ,∠PSB＝α とおくと、余弦定理よりBP^2＝16a^2+4-16a*cosα ,CP^2＝a^2+4+4a*cosα BP:CP＝2：1より 16a^2+4-16a*cosα＝4(a^2+4+4a*cosα) 変形して cosα＝(3a^2-3)/8a ∴ sinα＝√(-9a^4+82a^2-9)／8a∴△ABC＝(1/2)*5a*ASsinα＝(35/16)√(-9a^4+82a^2-9)-9a^4+82a^2-9＝-9(a－41/9)^2＋1600/9 だから△ABCの最大値は (35/16)×40/3＝175/6 をとります。ここで AP=6cm となるように6/5倍に拡大すると△ＡＢＣ＝(175/6)×(36/25)＝42（cm^2）・・もっと楽にでるのでしょうね・・・ 返信する すみませんでした (ひょう) 2008-12-22 16:28:46 この問題は悪問だったようですね。。申し訳ありませんでした。以下の小問を付け加えます。(1)点Aを通りCRに平行な直線と直線BPの交点を点D、点Aを通りBQに平行な直線と直線CRの交点を点Eとする。このとき三角形PDEと三角形PCBは同じ三角形であることを示せ。(2)辺BCの中点を点Mとしたとき線分PMの長さを求めよ。 返信する 目から鱗 (ハル) 2008-12-22 19:12:58 誘導に従ったらとてもすっきりと解けました。気付けば差が付く良問だと思います。楽しませて頂きました。（１）△BPRと△BDAの相似を利用するとBP:PD=2:1となりBP:PC=2:1でもあることからPD=PCまた、PE=DA=3/2*PR=3/2*4/3*PC=2PC=PBさらに、∠DPE=∠CPB（対頂角）以上より△PDE≡△PCB（二辺夾角相等）（２）APとDEの交点をFとすると平行四辺形PDAEの対角線は互いに他を二等分するから、PM=PF=PA/2=6/2=3以上の結果を利用すると、△ABCの面積が最大となるのは△MPAの面積が最大となるときであり、この時∠MPA=90°となる。△MPA=6*3/2=9より、△ABCの最大値=(7/5)*(10/3)*△MPA=(14/3)*9=42 返信する 納得です！ (Ｍｒ.ダンディ) 2008-12-22 22:21:40 私の解法だと式が複雑な割りに答えがすっきりとした整数になるので、あのような式を経ずに上手い方法があるのであろうと思っていたのですが、やはりあったのですね。誘導にあるような図はとてもじゃないが思いつきませんでした。（まだまだ未熟だな～）ちなみに、私の解法における面積最大のときの各値を計算するとBC≒12.8(cm) ,∠ASB＝51.34°,MS≒3.84(cm)となり, 余弦定理より AM≒√45(cm) がでてきて、これらの計算結果からも∠APM＝90°のときと一致していました。（大いに楽しませてもらいました） 返信する 正解です (ひょう) 2008-12-23 00:39:56 解いてくださりありがとうございます！バランスのとれた良問を作るのは難しいです。作問の道はまだまだ険しい……ちなみに、三点A,B,Cそれぞれから直線BPに平行な直線と直線CPに平行な直線を引くとひし形が現れて、問題の見通しが良くなると思います。このひし形が正方形の時に3:4:5の直角三角形が現れたりもしますが、これは蛇足ですね。 返信する 規約違反等の連絡
三角形ABCの内部に点Pを取り、直線BPと辺ACの交点を点Q、直線CPと辺ABの交点を点Rとしたところ
AP=6cm
BR:RA=AQ:QC=BP:PC=2:1となった。
このとき、三角形ABCの面積の最大値を求めよ。
二次関数の最大値の問題になりました。
皆様の解法で勉強させて頂ければ幸いです。
△ABCの最大値＝４２
答だけですみません。
（途中計算の都合上、AP＝5 として、最後に6/5倍に拡大したいと思います）
APの延長とBCの交点をＳとすりと メネラウス,チェバの定理より、
BS：SC＝4：1 AP：PS＝5：2 となり PS＝2 となります。
CS=a ,∠PSB＝α とおくと、余弦定理より
BP^2＝16a^2+4-16a*cosα ,CP^2＝a^2+4+4a*cosα
BP:CP＝2：1より 16a^2+4-16a*cosα＝4(a^2+4+4a*cosα)
変形して cosα＝(3a^2-3)/8a
∴ sinα＝√(-9a^4+82a^2-9)／8a
∴△ABC＝(1/2)*5a*ASsinα＝(35/16)√(-9a^4+82a^2-9)
-9a^4+82a^2-9＝-9(a－41/9)^2＋1600/9 だから
△ABCの最大値は (35/16)×40/3＝175/6 をとります。
ここで AP=6cm となるように6/5倍に拡大すると
△ＡＢＣ＝(175/6)×(36/25)＝42（cm^2）
・・もっと楽にでるのでしょうね・・・
以下の小問を付け加えます。
(1)
点Aを通りCRに平行な直線と直線BPの交点を点D、
点Aを通りBQに平行な直線と直線CRの交点を点Eとする。
このとき三角形PDEと三角形PCBは同じ三角形であることを示せ。
(2)
辺BCの中点を点Mとしたとき線分PMの長さを求めよ。
気付けば差が付く良問だと思います。
楽しませて頂きました。
（１）
△BPRと△BDAの相似を利用すると
BP:PD=2:1となりBP:PC=2:1でもあることからPD=PC
また、PE=DA=3/2*PR=3/2*4/3*PC=2PC=PB
さらに、∠DPE=∠CPB（対頂角）
以上より△PDE≡△PCB（二辺夾角相等）
（２）
APとDEの交点をFとすると平行四辺形PDAEの対角線は互いに他を二等分するから、PM=PF=PA/2=6/2=3
以上の結果を利用すると、△ABCの面積が最大となるのは△MPAの面積が最大となるときであり、この時∠MPA=90°となる。
△MPA=6*3/2=9より、
△ABCの最大値=(7/5)*(10/3)*△MPA=(14/3)*9=42
誘導にあるような図はとてもじゃないが思いつきませんでした。（まだまだ未熟だな～）
ちなみに、私の解法における面積最大のときの各値を計算すると
BC≒12.8(cm) ,∠ASB＝51.34°,MS≒3.84(cm)
となり, 余弦定理より AM≒√45(cm) がでてきて、これらの計算結果からも∠APM＝90°のときと一致していました。
（大いに楽しませてもらいました）
バランスのとれた良問を作るのは難しいです。作問の道はまだまだ険しい……
ちなみに、三点A,B,Cそれぞれから直線BPに平行な直線と直線CPに平行な直線を引くとひし形が現れて、問題の見通しが良くなると思います。
このひし形が正方形の時に3:4:5の直角三角形が現れたりもしますが、これは蛇足ですね。