マッキーの一問必答（４）：分母・分子の因数に注目して解く

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　「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む今春の問題を取り上げ、ポイントを解説します。

　今日の入試問題のポイントは、わり算および分数の約分において、因数に注目した解き方をマスターすることです。整数のわり算を分数に表記すれば、分母の因数がすべて分子に入っていれば、約分されて整数となります。

　また単位分数（分子が１の分数）の中で、１／２＝０．５のように割りきれる分数と、１／３＝０．３３３３３・・・・のように割りきれずに、循環小数（同じ数の繰り返し）となってしまうものがあることを知っている必要があります。

　そうした基礎的な数値の知識を問う問題が、今日の一行題です。

【因数とは】
　因数という言葉をブログでは、私は使っていますが、小学生の授業中では用いない言葉です。ただし、素因数分解という言葉を使い、さまざまな問題を解いていますので、因数とはどういった言葉かは、子供たちはおおよそ理解しています。因数とは、整数が幾つかの整数の積の形で表されているとき、そのそれぞれの整数をいう言葉です。また，因数はその整数の約数でもあります。例えば１２＝２×２×３という風に、１２を素数の積で表すことができますが、それぞれの数が因数です。


【今春の入試問題】　（分数の表記は、実際の入試問題と異なります。）

　このシリーズで取り上げる今春の中学入試問題は、私が作成した解説および解答を見ずに、まずは自力で解いてみることをお勧めします。大人には頭の体操になりますし、また受験生は、算数に対する興味や面白さが、倍増するはずです！

１．東京都市大学附属中学校

整数を１から８１まで順にかけ合わせた数１×２×３×・・・・・・・×８１は、１５で□回割りきることができます。

２．慶應義塾普通部

１／４を小数で表すと０．２５となり、わり切れます。１／３は０．３３３・・・となり、わり切れません。偶数の積２×４×６×・・・×２０をＡとするとき、Ｂ／Ａがわり切れるような最も小さい整数Ｂを求めなさい。



【解答と理解しておくべきポイント】

入試問題では、特に最初に出てくる一行題的な問題には、受験生に知っていてほしい大切なポイントが必ず１つ含まれています。それが何なのか？・・・それを的確に見つけることが必要です。

まず、東京都市大学附属の問題です。

１×２×３×・・・・・・・×８１÷（１５×１５×１５×・・・）
＝１×２×３×・・・・・・・×８１／１５×１５×１５×・・・
上のように、わり算を分数の計算として考えると分かりやすいですね。そして約分することにより、分母が１となる時の１５の最も多い個数を求めます。

１５＝３×５と素因数分解できます。約分とは、分母分子を同じ数で割ることです。分子の数値を素因数分解すると、３という因数はいっぱい出てきますが、５という因数はさほど多くはないことに気づく必要があります。

要するに、分子＝１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）・・・・・・、このように１０までの積を素因数分解すると、３が４個で５が２個あり、３の方が５の２倍あることが分かります。

そのことから、１５の個数は分子の中の５の個数によって決まる！・・・ここを押さえることが必要です。

１×２×３×・・・・・・・×８１の中に、５の因数がいくつあるかを考える場合、５の倍数がいくつあるかを調べればよいことは分かりますね。
８１÷５＝１６・・・１（５の倍数は１６個）

では、５という因数が１６個かと言えば、それは間違い。５×５＝２５の倍数は、５という因数を２個持っています。５×５×５＝１２５の倍数は、５という因数を３個持っています。

そこで、２５の倍数の個数を考えます。
８１÷２５＝３・・・６（２５の倍数は３個）

ただし、２５の倍数が３個あれば、その中に５の因数は６個あります。しかし、２５の倍数は、５の倍数としてすでに１回数えているので、数えていない因数５は３個です。

よって分子の中の５の因数の個数は、１６＋３＝１９（個）となり、１５で１９回割りきることができるというのが正解です。


次に慶應普通部の問題です。

ちょっとこの問題と関連して、分母が偶数の単位分数の中で、分数を小数にしたときに、わり切れるものとわり切れないものを分類してみましょう。

わり切れる・・・・・１／２，１／４，１／８，１／１０，１／１６，１／２０
わり切れない・・・１／６，１／１２，１／１４，１／１８

この分類が即座にできるでしょうか。どうしてわり切れないのかといえば、分母に３または７の因数を含んでいるからです。したがって、求める分子Ｂが、分母に含まれる３と７の因数の積であれば、分母の中の３と７の因数は約分されて無くなり、わり切れる分数となります。

２から２０までの偶数の中で、３と７の因数を含む数は、
６＝２×３、１２＝２×２×３、１４＝２×７、１８＝２×３×３です。

よって、求める分子のＢは、３が４個と７が１個の因数で構成される数とすればよいことになります。

このことから、Ｂ＝３×３×３×３×７＝５６７が答えとなります。

　数を取り扱うさまざまな問題の学習を行う時に、数の性質をしっかりと理解して行うことが大切です。ただ単に、解答を得るだけではなく、数が持つさまざまな性質に目配りすることは、数を鳥瞰的に見て利用する力を養成することにつながります。

　一流のサッカー選手が、自在にボールを操るのと同様に、与えられた数を自由に使えるよう練習するとともに、興味を持って楽しんで学習することが大切です。