「Intel CPU クーラー」の「プッシュピン」については、なんとかなりました。
自作系のブログやYoutube動画を確認したところ、プッシュピンの芯（？）をきっちり引き戻してから、プッシュボタンをロック位置に回転して合わせた後に丁寧にプッシュすれば良いことがわかりました。
現在のところ１００％成功というところまでは到達していませんが、４つのピンがちゃんとロック出来たので、良しとします。
ただ、一応正常に使えるのですが、CPU温度が以前よりも１０℃ほど高いんですよね。
おそらく、つけ外しを頻繁にした為にグリスの状態が良くないのでしょう。
残念なことに予備のグリスがなくなってしまったので、これ以上のリトライは出来ません。
eBayで安物グリスを手配したので、１１１月中旬までには届くことでしょう。
それまでは、現状維持ですね。