濃度算 中学受験算数 中学算数

濃度算とは

濃度算とは、水溶液の濃度や溶媒・溶質の質量を求める問題です。食塩水がよく用いられるので、「塩水算」「食塩水問題」とも言われます。

特に、濃度が異なる食塩水を混ぜる問題が多いです。

代表的な例としてはこのような問題。

例題1
10%の食塩水50gに20％の食塩水200gを加えると何％の食塩水になるか。

他には混ぜたあとの水溶液から、混ぜた水溶液の量を求める問題もよく出題されます。

例題2
濃度5％の食塩水60gに濃度10%の食塩水を何gか混ぜ、濃度8％の食塩水を作った。10％の食塩水は何g混ぜたか求めよ。

このように似たような問題でも解き方が異なるというのが濃度算の厄介なところです。

今回はこれらの問題でもスムーズに解ける方法を解説していきますが、まずは抑えておかないといけない知識があります。

それは、水溶液の濃度に関する公式です。

水溶液の濃度の公式

ここでは分かりやすいように、水溶液を食塩水とします。

食塩水の濃度というと、「食塩水に含まれる食塩の割合」を指します。なので、『食塩水の濃度（％）＝食塩の量（g）÷食塩水の量（g）×100』です。

これは「割合の求め方」と「食塩水の意味」をしっかり抑えれば公式を丸暗記する必要はありません。

ちなみに100をかけるのは、小数を百分率に変換するためです。

ただここで、『食塩水の量』が『食塩と水を合わせた量』ということに気をつけましょう。

たとえば以下の問題の場合。

80gの水に食塩20gを溶かしたら濃度は何％か？

• 間違った例：20÷80×100＝25％20÷80×100＝25％
• 正しい例：20÷（20+80）×100＝20％20÷（20+80）×100＝20％

水80gに対する食塩20gの割合は25％です。

しかし、食塩水の濃度は食塩水100g（食塩20g+水80g）に対する食塩20gの割合なので、20％になります。

この濃度20％の食塩水は、「20％が食塩で残りの80％が水」ということです。

この点に関して、濃度算は他の割合の問題とは毛色が違うので慣れが必要です。

ポイントとして、食塩水には4つの要素があるのでそれを抑えましょう。

食塩水の4つの要素

 

1. 水の量
2. 食塩の量
3. 食塩水の量
4. 濃度

4つのうちどれか2つの値がわかれば、他の値も計算で求めることができます。

では文章問題を解く前に、簡単な問題で食塩水の濃度の基本に慣れましょう。

例題1

濃度20%の食塩水150gに含まれる食塩は□g。

食塩水150gに対して食塩が20％なので、150gのうちの20％が食塩というわけです。

150×20÷100＝30150×20÷100＝30となり、□に入る答えは30です。

例題2

濃度5%の食塩水160gに含まれる水は□g。

160gのうち5％、160×5÷100＝8g160×5÷100＝8gが食塩なので、食塩水の残り160−8＝152g160−8＝152gが水となり、□に入る答えは152です。

ちなみに、食塩水の5％が食塩ということは残りの95％が水なので、160×95÷100＝152g160×95÷100＝152gと考えることもできます。

例題3

17%の食塩水□gに含まれる食塩は10.2g。

「濃度＝食塩の量÷食塩水の量」から、「食塩水の量＝食塩の量÷濃度」という式が導けます。（ややこしいので濃度は小数）

長方形の縦・横が濃度・食塩水の量で面積が食塩の量となるイメージです。

というわけで食塩水の量は、10.2÷17×100＝60g10.2÷17×100＝60gなので、□に入る答えは60です。

濃度算の文章問題の解き方

では上で挙げた例題を用いて、濃度算の文章問題の解き方を解説していきます。

例題1
10%の食塩水50gに20％の食塩水200gを加えると何％の食塩水になるか。

食塩水の濃度を計算するには、濃度以外の2つの要素を求める必要があります。ここでは「食塩水の量」と「食塩の量」をそれぞれ求めましょう。

混ぜたあとの食塩水の量・食塩の量は2つの食塩水におけるそれぞれの量を足せば求めることができます。

食塩水の量の和：50+200＝250(g)50+200＝250(g)

濃度10％の食塩水50gは50×10÷100＝550×10÷100＝5、濃度20％の食塩水200gは200×20÷100＝40200×20÷100＝40より、それぞれの食塩の量は5gと40gです。

食塩の量の和：5+40＝45(g)5+40＝45(g)

250gの食塩水のうち45gが食塩なので、濃度は45÷250×100＝1845÷250×100＝18より、18％が答えです。

 

つづいてこちらの問題。

例題2
濃度5％の食塩水60gに濃度10%の食塩水を何gか混ぜ、濃度8％の食塩水を作った。10％の食塩水は何g混ぜたか求めよ。

例題1と同様、濃度が違う食塩水を混ぜる問題ですが、例題1と同じ解き方で解くことはできません。

食塩水の2つの要素が分かっていれば他の要素を求めることができるのですが、この問題で計算できるのは、5％食塩水の食塩の量と水の量だけだからです。

ここで便利なテクニックを紹介します。

つるかめ算や差集め算で用いたような面積図で解く方法です。

前述しましたが、食塩水は縦・横を濃度・食塩水の量とみなして面積を食塩の量とした長方形の面積と考えることができます。

これより、「5％の食塩水60g」と「10％の食塩水□g」を混ぜたら「8％の食塩水」になったということを下のように表すことができます。

つまり、⇒の左右の面積が等しくなるように□の値を求めればいいわけです。

左右の図形を重ねたら以下のようになります。

図で表した部分の面積が等しくなればいいので、「？×2＝60×3？×2＝60×3」より、？に入るのは60×3÷2＝9060×3÷2＝90。

よって、答えは90gです。

複雑な割合の問題も図形の面積問題に変換できるわけです。他にも解き方はありますが、このように面積図を使って解くのが一番理解しやすいと思います。

 

面積図を使う問題をもう一問見てみましょう。

例題3
濃度10％の食塩水200gに食塩を何gか混ぜ、濃度20％の食塩水を作った。食塩は何g混ぜたか求めよ。

このような問題でも、食塩を濃度100％の食塩水と見ることで例題2と同じように面積図で解くことができます。

 

？×80＝200×10？×80＝200×10より、？に入る数字は200×10÷80＝25200×10÷80＝25。

よって答えは25gです。

 

食塩水は4つのうち2つの要素が分かっていれば他の要素も単純な計算で求められます。なので、まずは食塩水のどれか2つの要素を求められないか考えましょう。

もし簡単に求められないのであれば、面積図を用います。

大抵の濃度算の問題はこれだけ抑えておけば十分でしょう。

1. 食塩水の4つの要素のうち2つを求める
2. 2つの要素が簡単に求められない場合は面積図で求める
3.