周期算 何番目を求める

周期算とは

周期算とは、ある規則で並んだ数字やマークにおいて◯番目を求める問題。

たとえば代表的な問題として以下の例題が挙げられます。

例題１
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。1000番目の数字を求めよ。
6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,・・・

さらに発展して数字を足していく問題。

例題２
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。順番に数字を足していったとき、1000より大きくなるのは何番目の数字か。
8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,・・・

小数第◯位を求める問題。

例題３
1 ÷ 7を小数で表すとき、小数第927位の数を求めよ。

こういった問題が代表的です。

ではこれらの解き方について詳しく解説していきます。

周期算の解き方

例題1

以下の数字はある規則に沿って並んでいる。1000番目の数字を求めよ。
6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,・・・

まず並んだ数字の規則を見つけましょう。ここでは、

「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」

というように「6,9,5,8,1,1」の6個の数字を1組として、繰り返されているのが分かります。

そして組の終わりの数字が6の倍数番目の数字であることに注目しましょう。

6番目、12番目、18番目、24番目、30番目などは各組の最後の数字の「1」にあたります。

なのでこれらの1つ後ろの数字、7番目、13番目、19番目などは「1」の後ろの「6」にあたります。これらの番号は6で割ったときに1あまる数字です。

さらに1つ後ろの数字8番目、14番目、20番目などは「9」になります。これらの番号は6で割った時に2あまる数字です。

つまり、◯番目にあたる数字は6で割った時のあまりで判断できるということです。

では1000番目にあたる数字を考えてみましょう。

「1000÷6＝166あまり4」より、組の4番目の数字「8」が正解です。

式の意味としては、6個1組の数字が166回繰り返された996番目が組の最後の「1」にあたるのでそれより4つ後ろの数字の「8」が1000番目の数字にあたるということです。

例題2

以下の数字はある規則に沿って並んでいる。順番に数字を足していったとき、1000より大きくなるのは何番目の数字か。
8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,・・・

この数字の並びを観察すると、

「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」

というように「8,3,7,7,4」の5つの数字を1組として、繰り返されているのが分かります。

1組の数字の和は「8+3+7+7+4＝29」なので、数字を順番に足していくと組が繰り返されるごとに29ずつ増えていきます。

つまり以下の通り。

• 1組（5番目）までの数字の和：29×1＝29
• 2組（10番目）までの数字の和：29×2＝58
• 3組（15番目）までの数字の和：29×3＝87
• ・
• ・
• ・

では数字が1000を超える直前までの組を考えてみましょう。

1000÷29＝34あまり14

となるので、34組が繰り返された時、1000まであと14となります。（34組までの合計が986）

組のはじめから数字を足していった時残りの14を超えるのは、3番目の「7」を足したときです。⇒8+3+7＝18

つまり数字の和が1000より大きくなるのは、「5個1組の数字を34回繰り返し、さらに3つの数字を足した時」なので、5×34+3＝173より173番目が答えです。

例題3

1 ÷ 7を小数で表すとき、小数第927位の数を求めよ。

まず「1 ÷ 7」を計算しましょう。

1 ÷ 7 = 0.14285714・・・

となり、小数点以下は「142857」の6個が数字が繰り返しているのがわかります。ここまでわかればあとは「例題1」と全く同じです。

「927 ÷ 6 = 154 あまり 3」より、 927番目の数字は6個1組を154回繰り返したあとの3つ後ろの数字です。

つまり組の3番目の数字である「2」が答えです。

小数点以下が繰り返される小数は周期算において頻出なので、パターンとして覚えておきましょう。