センター試験の総括 －ⅠＡ第３問－

第３問に入ります。

ⅠＡは満点を十分に狙える科目ですが、
毎年、この第３問は満点をとる上での鬼門となります。
今年度は視覚に問う要素が強く、中学幾何の匂いを感じました。



冒頭（CDの長さまで）：

∠CABの大きさ・・・⊿ABCの三辺の長さがすべて分かっているので、⊿ABCに対して余弦定理を用いて cos∠CABを求めればよい。

BDとCDの長さ ・・・ADは∠CABの二等分線なので、BD：CD＝AB：AC＝1：2。これと、BCの長さが√7であることから算出する。

※いたって基本的な内容。


中盤（DEの長さまで）：



円周角の定理から、∠DAB＝∠DCE かつ ∠CAD＝∠DBE が成り立つ。
さらに、∠DAB＝∠BCE＝60°であるから、∠DCE＝∠DBE＝60°
よって、∠BEC＝60°

以上により、∠DABと大きさの等しい角度をマークの中から選ぶと、⓪の∠DBEと、④の∠BECとなる。

BEの長さ・・・ここまでの議論から、⊿BECが正三角形であることが分かるので、BEの長さは√7。

DEの長さ・・・
方べきの定理を用いると、AD×DE＝BD×CD・・・①
BDとCDの長さは既に求めているので、あとはADを求めればよい。そのために、⊿ABC＝⊿BAD＋⊿DACと考えて、
1/2×AB×AC×sin120°＝1/2×AB×AD×sin60°＋1/2×AD×AC×sin60°・・・②
②からADが求められて、これを①に代入すればDEが求められる。

※∠DABと大きさの等しい角度を問う部分で「∠DBE」はすぐに分かりますが「∠BEC」に気付かなかった人がいたかもしれません。
また、DEを求める上で、ADの長さを求められるかがカギになります。⊿ABDで余弦定理を立ててもよいですが、面積に着目した方が楽です。


終盤：



O'Bの長さ・・・
O'Bは⊿EBDの外接円の半径なので、⊿EBDで正弦定理。
DE/sin∠EBD＝2×O'B から求められる。

tan∠EBO'・・・
O'からEBに向けて下ろした垂線の足をＨとすると、
tan∠EBO'＝HO'/BH である。
ＨはEBの中点であることから、BHの長さは分かる。
さらに、O'Bの長さは既に求めているので、⊿O'BHに対して三平方の定理を使えばHO'の長さも分かる。
これより、tan∠EBO'の値が分かる。

※最後のtanの問題は、方法は他にもありますが、直角三角形をつくって視覚的に解くのが最も簡単でした。計算に走って自爆した人も多いのでは？



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