最後に第４問。
回転軸に対して斜めに置かれた平面図形を回転させてできる回転体の体積を求める問題。
(1)は簡単ですが、(2)は今年唯一の、例年の東工大レベルです。
東大に関しても強く言えることですが、国公立２次で出題される立体は、形をイメージできないことがほとんど。
今回だって、おちょこのような形をした図形を回転軸に対して傾けながら回転させているのですから、出来上がりの形なんか想像できませんよね。
積分のもとでは、形を無理やりに想像する必要などありません。むしろ想像してはいけません。
「回転させる前の段階で切ってしまって、その切り口を回して断面を特定し、断面積を求め、積分」という流れです。
一言で表現するならば「切ってから回せ！」です。
これから本格的に入試対策に突入するなら、
回転体・非回転体は重大なテーマになりますから、数ヵ月後に備え、
「切ってから回せ！」というフレーズをお忘れなく。
さて、全体のまとめといきましょう。
難易度は、驚異的に易化しました。
私自身、見た瞬間に、すべての問題で解答への筋道が見切れたのは、東工大では久しぶりのことです。
最低３完近くはとれていないと、合格は厳しいかもしれません。
本来の東工大は、
・微積を主体とした計算がヘビー級の問題
・答えは視覚的にはすぐに見つかるが正確な論証の難しい問題
の少なくとも１つは毎年出題してきます。
今年の難易度が来年も続くとは思わず、
例年通りの重厚な問題を攻略する方針で学習したほうが良いでしょう。
ありましたらいつ頃公開するか教えてもらえますでしょうか？
第一問は球面に光を当てたときに影がどうなるかというもの。CPの方程式をベクトル方程式として求め、球面と連立すると、ベクトル方程式に用いた媒介変数に関する２次方程式となって、その媒介変数に対して判別式が非負となることから答えが得られます。
答えは 3(X+c)^2+(c^2+3)Y^2≦9+3c^2 だと思われます。
この問題に関してはネットで「リーマン球面」と打って調べると色々分かりますよ。
第二問は、第１象限内の点から曲線 y=-1/x に引いた２本の接線と、２つの接点を結んでできる線分によってできる三角形の面積の最小値を求める問題。
解法はいくつかあるでしょう。接点を文字でおいて、接線が (p, q) を通ることからその文字に関する２次方程式をつくれて、その方程式に対し解と係数の関係を使って・・・といった鉄板解法でも解けます。
答えは 3√3 (pq=2のとき) だと思われます。