2025という数字

2025年も　明けましておめでとうございます！
（注：goo のサイトトラブルのため今日までblogにアクセスできませんでした）
さて今年の元日、「理学部数学科卒の先生」がこの2025という数字についてネット動画で解説してくれました。

2025＝45×45　つまり45^2　（これは「45の2乗」という表記）

私の世代で算盤を習っていた人なら常識なんだけど、
1から9まで足し上げると45になる。（それが珠算初心者用の練習課題だった）
1+2+3+…+9=45
つまり、
（1+2+…+9）^2=2025
というおめでたい数字の並びになる。

ところがここで。
「1の3乗」から「9の3乗」までを足し合わせても
1^3+2^3+…+9^3=2025
これもやっぱり2025になるんですねえ。

実はこれは。偶然一致するんじゃなくて、1から順番にどの数までで計算しても、必ず同じになる。

（1+2+…+n）^2=1^3+2^3+…+n^3

が必ず成り立つんだって！
そこで「理学部数学科卒の先生」、これは高校レベルの数学で証明できるので皆さんも確かめてみてね、といって動画を終わらせてしまった。

こんな謎をかけられたままじゃ落ち着いて正月できないよ。
というので私が解いてみたのが以下。私の証明は高校数学レベルだけど、上手く図を画いて説明すれば小中学生でも理解できるかも。

これがめでたく解けたので安心して新年を過ごすことができそうです。

【以下　証明】
++++++++++++++++++++++
2以上の自然数nについて
A=1+2+...+n
B=1^3+2^3+...+n^3
とする。

さらにnより1つ大きい自然数n+1について、
C=1+2+...+n+(n+1)
D=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3
とする。

C=A+(n+1)
C^2=A^2+2A(n+1)+(n+1)^2
D=B+(n+1)^3

ここで
A=1+2+...+n
A=n+...+2+1
よって
2A=n(n+1)
A=n(n+1)/2

したがって
C^2=A^2+n(n+1)(n+1)+(n+1)^2
C^2=A^2+(n+1)^3
------------------
ここでもし、
A^2=B が成り立つなら、
C^2=B+(n+1)^3

いっぽう、
D=B+(n+1)^3
なので

C^2=D　が成り立つ。
-------------------
さらに、n=2の場合に
A=3
A^2=9
B=9
で
A^2=B
が成り立つので、

3以上のすべての自然数nについても
(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3
であることが証明された。

マイクロソフトの入社試験 直角三角形の面積問題 だけど疑問？

マイクロソフト社の入社試験、最終選考で、以下のような図とともに
「この三角形の面積を求めよ」
という出題がされたらしい。

ロケットニュース
http://rocketnews24.com/2016/05/20/750185/

「その三角形ABC」を言葉で書くと、
角Bが直角、
辺ACの長さが10、
BからACに下ろした垂線の長さが6

底辺が10で高さが6なんだから、
10×6÷2＝30
面積は30、なんて簡単な問題なんだ！

と答えたら不正解にされた、と。

>面接官「そもそもこんな三角形は存在しない」

そりゃそうだね。円周角で考えれば分かるけれども、
角Bが直角と言うことは、ACが円の直径でBは円周上の1点ということ。
BとACの間の距離が一番遠くなるのは、三角形ABCが直角二等辺三角形になる場合で、その時でもBとACの間の距離は5。
つまり6になることは有り得ない。

こんな三角形は実際に作図できない、存在しない、と。
うんうん納得。ここで単純に計算して
「面積は30だ」と答えるような受験生は、
注意力が足りない、頭が硬い、と私も思う。
>そんな受験生はセンス無い、
と評価してる声も見つけた。

またネット上では、
「非ユークリッド空間にしてみれば？」とか
「虚数まで考えて」とか
いろいろ感想も見かけた。

-----------------------
ただねえ、私が個人的に考えたのは。

「この三角形の面積は30です」という答は、

「不正解にはならない」んじゃないの？

論理学的にこう考えてみた。

命題P　この図のような三角形ABCがあります
命題Q　この三角形の面積は30です

P→Q　（PならばQ）　って論理的に成り立つ、
真でしょ？
偽じゃないでしょ？

もともと命題Pが実在しないんだから。
実在しない仮定については、何を言っても真になる。

ああだから、「面積30」だけでなく、面積は0でも1万でもマイナス100でも、全て正解！
というのが数学論理だと思うんだけどなあ。

例えば、
「私の父親が産んだ子どもは、全て女の子である」
という命題は真のはず。

対偶を取って考えてみると分かる。
「ある人が女の子ではない」→「その人は、私の父親が産んだ子ではない」
は必ず成り立つ、真だよね。

「ある三角形の面積が30ではない」
→「その三角形は、図のような三角形ではない」
は明らかに成り立つ。
not Q→not P

単純に「公式に当てはめて」、面積30と答える受験生は確かに落とされても仕方ないけれど。
それに対して、
「お前は不正解だ！頭、悪いなー」と言い切っちゃうのは、それもかなりお粗末だとは思った。

（注：ニュースのネタ元はリンク先で確認してください。どこまで本当の話なのかは分かりません）

ベイズ確率

『朝日新聞』は新年度から、毎週火曜日の科学面を刷新するつもりらしい。
先日[2009.04.07]には、数学者（帝京大：小島寛之.准教授）によるベイズ確率論の解説が載っていたぞ。

「小島寛之の数学カフェ」　“心の確率　IT社会で復権”

例えば、サイコロを600回投げたら、そのうち100回、「1」の目が出たから、「1」が出る確率は1/6だ（試行回数を増やしていけば、1/6に収束する）といった考え方（→　頻度確率）でなく、、、、。
（だって、「明日、雨が降る確率」なんて、何度も試行して確かめるわけにいかないし...）

そもそも最初から何かの事象について、その人の主観として、
「これくらいの確率に違いない！」
と事前確率を見積もっておいて。で、新たに情報が追加されれば、それに従って事後確率を改訂していく。
ベイズの定理というものがあるわけで。



例えば、wikipediaのそのページにある　ベイズの定理の数式に当てはめれば。

例：あなたはまず、冬場の東京の午前中にいます。当たり前に、冬の関東は空が晴れ渡ることが多いです。

P(B) :冬場の東京で、明日、雨が降ると思う確率　0.1　くらいかな？
P(A) :冬場の東京で、今日・午後、空が曇る確率　0.3　くらいとしておこう。

でも、
P(A|B) :明日、雨が降るとしたら、今日午後、曇る確率は、0.6くらいと見積もられる。

さあ、午後になったら、実際に雲が出てきました。
今日の午後、曇った、という情報を付け加えて、明日の天気予報を改訂すると、、

P(B|A) = 0.6×0.1/0.3 = 0.2

ほらあ！最初の見積もりの倍にも跳ね上がったぞ！
という風にやっていくもの、だったよね。
（と、自分で計算して確かめてみた、まーく）

新聞では、ビジネスや電子メールが迷惑メールかどうかを判定するのを例に、解説されていた。
しっかし、科学面とは言え一般紙に、

ベイズ改訂
とか
主観確率
とか、（あっ、実際そういう用語は出てこなかったけど）
の考え方が解説されていくとは、、。
世の中、進歩してるもんだなあ、と感慨する私でした。
（うーんと、これは一応、科学カテゴリーにしておこうか。。）

犬猿の仲

信州（長野県）大町市。全国各地の例に漏れず、ここでも野生のニホンザルによる農業被害が深刻に。
そこで大町市役所が打ち出した方針。それは、
「犬猿の仲」という戦略。
犬3頭を訓練し、畑地の周囲に放し、猿たちを威嚇してもらおう
という作戦。
（TBS-TV［05.08.03］夕のニュース）

結構、いい線行くかもしれないな、これは。
ちなみに人に飼われている限り、
「犬と猫」は、意外に仲良いです。