ファインマン物理学 I 8-10

sin(θ + ⊿θ) = sinθcos⊿θ + cosθsin⊿θ
sin⊿θ ≒ ⊿θ, cos⊿θ ≒ 1 をあてはめると
sinθcos⊿θ + cosθsin⊿θ ≒ sinθ + cosθ⊿θ
となりますから
d(sinθ)/ dθ = (sin(θ + ⊿θ) - sinθ)/ dθ ≒ cosθ
です．
cos(θ + ⊿θ) = cosθcos⊿θ - sinθsin⊿θ
sin⊿θ ≒ ⊿θ, cos⊿θ ≒ 1 をあてはめると
cosθcos⊿θ - sinθsin⊿θ ≒ cosθ - sinθ⊿θ
となりますから
d(cosθ)/ dθ = (cos(θ + ⊿θ) - cosθ)/ dθ ≒ -sinθ
です．

ファインマン物理学 I 8-12

円の中心の x 座標は Vt
y 座標は R です．
円の回転した角度をθとすると
V = Rdθ/dt
です．
dθ/dt = V / R
ということですから
θ = Vt / R
です．
小石の x 座標は
Vt - Rsinθ = Vt - Rsin(Vt / R)
y 座標は
R - Rcosθ = R(1 - cos(Vt / R))
です．
速度の各成分はそれぞれ t で微分して
V(1 - cos(Vt / R))
Vsin(Vt / R)
です．
加速度の各成分はそれぞれ t で微分して
V^2sin(Vt / R)/ R
V^2cos(Vt / R)/ R
です．

ファインマン物理学 I 8-9

重力加速度を g とすると
がけのふちまでの距離 d の位置から
初速 V で
水平から角度θ上に発射したとき
d = V^2sin(2θ) / g
です．(8-5 参照)
したがって
θ = sin^-1(gd / V^2)/ 2
です．
がけのふちでの速度の垂直方向成分は
-Vsinθ
ですから
がけのふちを通過する時間を 0 とすると
-h の高さにあるがけの下に落ちる時間を t とすると
-Vcosθt - gt^2 / 2 = -h
です．
t について解くと
t = (-Vcosθ±√(V^2cos^2θ + 2gh))/ g
ですが t > 0 なので
t = (-Vcosθ + √(V^2cos^2θ + 2gh))/ g
です．
速度の水平方向成分は
Vsinθ
ですから
落ちる位置のがけの下からの距離は
Vsinθt = Vsinθ(-Vcosθ + √(V^2cos^2θ + 2gh))/ g
です．

ファインマン物理学 I 8-7

b)
初速度 0 から
上向きの一定の等加速度 a で時間 t だけ上昇したとき
速度は v = at となり
高さ at^2 / 2 に到達します．
a = 2g ということなので
それぞれ 2gt, gt^2 です．
ここから加速度 -g でさらに上昇しますから
最高点に到達する
すなわち速度が 0 になるのに
v / g = 2t の時間かかりますから
上昇時間の合計は 3t です．
平均速度 v / 2 = gt で
時間 3t だけ上昇するということなので
最高点の高さ h は 3gt^2 です．
c)
最高点から地球に戻るのにかかる時間を t' とすると
h = gt'^2 / 2
なので
t' = √6t
ですから
上昇と下降にかかる合計時間は
(3 + √6)t
です．

ファインマン物理学 I 8-5

初速の垂直方向成分は Vsinθ ですから
重力加速度を g とすると
最高点まで達するのは
すなわち速度の垂直方向成分が 0 になる時間は
Vsinθ/ g
です．
最高点から地面に落ちるまでにかかる時間も同じですから
地面に落ちる時間は
2Vsinθ/ g
です．
初速の水平方向成分は Vcosθ ですから
届く距離は両者の積
2V^2sinθcosθ/ g = V^2sin(2θ)/ g
です．
これは
sin(2θ) = 1
すなわち
θ = 45°
のとき最大になります．

ファインマン物理学 I 7-8

a)
万有引力定数を G
地球の軌道の長径を a_地球
地球の公転周期を T_地球
ハレー彗星の軌道の長径を a_ハレー
ハレー彗星の公転周期を T_ハレー とすると
1 = (T_ハレー / T_地球)^2(a_地球 / a_ハレー)^3
です．(7-3 参照)
したがって
a_ハレー = a_地球(T_ハレー / T_地球)^(2/3)
です．
近日点での太陽からの距離を d_近 とすると
遠日点での太陽からの距離 d_遠 は
d_遠 = 2*a_ハレー - d_近
です．
b)
中心力下での運動では角運動量が保存するので
速さの比は
d_遠 / d_近
です．

ファインマン物理学 I 7-5

万有引力定数を G
星 a の位置ベクトルを r_a
星 b の位置ベクトルを r_b とすると
m_ad^2r_a/dt^2 = Gm_am_b(r_b - r_a)/|r_b - r_a|^3
すなわち
d^2r_a/dt^2 = Gm_b(r_b - r_a)/|r_b - r_a|^3
です．
同様に
d^2r_b/dt^2 = Gm_a(r_a - r_b)/|r_a - r_b|^3
ですので
d^2(r_a - r_b)/dt^2 = -G(m_a + a_b)(r_a - r_b)/|r_a - r_b|^3
です．
太陽の質量を m_太陽
太陽からみた地球の位置ベクトルを r とすると
d^2r/dt^2 = -Gm_太陽r/|r|^3
ですから
m_a + m_b と m_太陽
ra - r_b と r が対応しています．
したがって
地球の公転周期を T_地球
地球の軌道の長半径を a とすると
(m_a + m_b)/ m_太陽 = (T_地球 / T)^2(R / a)^3
です．(7-3 参照)

ファインマン物理学 I 7-3

a)
万有引力定数を G
太陽の質量を m_太陽
地球の軌道の長径を a_地球
地球の公転周期を T_地球 とすると
T_地球 = 2πa_地球^(3/2)/√(Gm_太陽)
です．(コツ 10-2 参照)
したがって
m_太陽 = (2π/ T_地球)^2a_地球^3 / G
です．
同様に
地球の質量を m_地球
月の軌道の長径を a_月
月の公転周期を T_月 とすると
m_地球 = (2π/ T_月)^2a_月^3 / G
ですから
m_太陽 / m_地球 = (T_月 / T_地球)^2(a_地球 / a_月)^3
です．
b)
同様に
木星の質量を m_木星
イオの軌道の長径を a_イオ
イオの公転周期を T_イオ とすると
m_木星 / m_地球 = (T_月 / T_イオ)^2(a_イオ / a_月)^3
です．

ファインマン物理学 I 6-2

6 つから 3 つを取り出す組み合わせは
20 通りです．
a)
みな色が違う取り出し方は
2 つの赤のうちから 1 つ
3 つの緑のうちから 1 つと
1 つの白の組み合わせなので
2×3 = 6 通りあります．
確率は 6 / 20 = 3 / 10 です．
b)
みな色が同じ取り出し方は
3 つの緑を取り出す 1 通りだけなので
確率は 1 / 20 です．

ファインマン物理学 I 6-1

移動距離 D は
衝突の間に進む距離 l の
D / l 倍ですから
(D / l)^2 回衝突することになります．
平均の速さが v のとき
l / v の時間に 1 回衝突しますから
(D / l)^2 回衝突するには
D^2 /(lv) の時間がかかります．