ファインマン物理学 I 4-17

重力加速度を g
糸の張力を T
針金から m_1 に働く抗力を N_1 とすると
√3N_1 / 2 = m_1g + Tsin(α- 30°)
N_1 / 2 = Tcos(α- 30°)
です．
針金から m_2 に働く抗力を N_2 とすると
N_2 / 2 + Tsin(α- 30°) = m_2g
√3N_2 / 2 = Tcos(α- 30°)
です．
m_2 = 3m_1 ということですから
tan(α- 30°)= 2 /√3
すなわち
α= tan^-1(2 /√3) + 30°
T = √7m_1g
です．

ファインマン物理学 I 4-15

T_BD = W / 2 引張
T_DF = W 引張
T_AB = 5W / 12 引張
T_BC = 5W / 12 圧縮
T_CD = 5W / 12 引張
T_DE = 5W / 12 圧縮
T_EF = 5W / 6 圧縮
T_FG = 5W / 6 引張
T_AC = W / 4 圧縮
T_CE = 3W / 4 圧縮
T_EG = W / 2 圧縮
床から A にかかる抗力は W / 3
床から G にかかる抗力は 2W / 3

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 10-2

万有引力定数を G
太陽の質量を M
惑星の質量を m
太陽と惑星の距離を r
惑星の速度を v
エネルギーを E とすると
mv^2 / 2 - GMm / r = E
でこれは一定です．
極座標で表すと
m((dr/dt)^2 + (r(dθ/dt))^2)/ 2 - GMm / r = E
です．
太陽からの引力は中心力ですので
角運動量が保存します．
そこで
h = r^2(dθ/dt)
とおくことにすると h は一定です．
dθ/dt = h / r^2
です．
r = 1 / u とおくことにすると
dθ/dt = u^2h
dr/dt = -du / (u^2dt) = -du / (u^2dθ)dθ/dt = -hdu/dθ
です．
これらを代入すると
mh^2((du/dθ)^2 + u^2)/ 2 - GMmu = E
すなわち
これは変数分離可能で
dθ=±du /√(2E /(mh^2) + G^2M^2 / h^4 - (u - GM / h^2)^2)
とすることができます．
l = h^2 /(GM)
e = √(1 + 2Eh^2 /(G^2M^2m))
とおくと
dθ=±du /√(e^2 / l^2 - (u - 1 / l)^2)
となります．
積分すると
θ =±cos^-1((u -(1 / l))/(e / l)) - θ_0
となります．
θ_0 は積分定数です．
r = l /(1 + ecos(θ+θ_0))
ということですが
これは楕円をあらわしており
長軸を a，短軸を b とすると
l = b^2 / a
です．
楕円の面積 S は
S = πab = π√la^(3/2) = πha^(3/2)/√(GM)
です．
h = r^2(dθ/dt) とおきましたから
周期 T は
T = 2S / h = 2πa^(3/2)/√(GM)
です．
太陽の密度を ρ
太陽の半径を R とすると
M = 4πR^3ρ/ 3
ですから
T = √(6π/(Gρ))(a / R)^(3/2)
です．
a が ka に R が kR に変わっても
T は変わりません．

ファインマン物理学 I 4-11

W_1 が斜面に沿って D 下に動くと
W_1 の高さは Dsinθ 下がり
W_2 の高さは同じだけ上がります．
W_1 の位置エネルギーは W_1gDsinθ減り
W_2 の位置エネルギーは W_2gDsinθ増えます．
位置エネルギーが減った分が運動エネルギーになりますから
速さを v とすると
(W_1 + W_2)v^2 / 2 = (W_1 - W_2)gDsinθ
ですから
v = √(2(W_1 - W_2)gDsinθ/(W_1 + W_2))
です．

ファインマン物理学 I 4-9

W_1 の高さの移動量の 2 倍
W_2 の高さが移動します．
したがって
W_2 の質量は W_1 の半分です．

ファインマン物理学 I 4-7

鎖を 2n / N の長さ引くと
大きい方の滑車が n 個のきざみ分まわり
おもりは 1 / N だけ上がります．
した仕事と位置エネルギーの変化が等しくなるので
上げるのに要した力を F
摩擦力のした仕事を w とすると
F2n / N + w = W / N
です．
鎖の逆側を 2(n -1)/ N の長さ引くと
小さい方の滑車が n - 1 個のきざみ分まわり
おもりは 1 / N だけ下がります．
下げるのに要した力を f とすると
f2(n - 1)/ N + w = -W / N
です．
F = Rf
ということなので
f = W /(n(R - 1) + 1)
F = RW /(n(R - 1) + 1)
です．

ファインマン物理学 I 4-3

棒の下端まわりのモーメントを考えます．
棒に働く重力によるものは
棒の中心に w が鉛直下向きに働くと考えれば良く
Lwsinθ/ 2
で時計回りです．
T によるものは
xTcosθ
で反時計回りです．
W によるものは
LWsinθ
で時計回りです．
これらの和が 0 のはずなので
T = L(W + w / 2)tanθ/ x
です．

ファインマン物理学 I 4-1

ABC は90度，45度，45度の二等辺三角形ですから
T_1, T_2 ともに W / √2 です．

力学コツ対応表

ファインマン物理学 I ファインマン流物理がわかるコツ
4-5 1-8
4-12 1-9
8-6 3-6
8-8 3-7
9-4 10-1
9-7 10-2
9-8 4-3
9-10 4-5
9-12 4-4
9-13 4-2
10-1 5-1
10-2 5-5
10-3 5-6
10-10 5-4
11-3 6-4
11-5 6-2
11-6 6-1
11-8 6-3
11-16 7-1
12-3 8-5
14-8 9-7
14-9 9-5
14-11 9-8
14-16 9-4
14-17 9-6
14-20 9-3
16-4 11-3
17-3 11-2
18-7 13-2
18-11 12-6
18-13 12-5
19-3 13-1
19-6 12-4
19-9 13-7
19-11 12-2
19-12 12-1
19-16 12-3
19-18 14-8
20-7 14-9
20-11a 13-4
20-12 14-4

コツ力学対応表

ファインマン流物理がわかるコツ ファインマン物理学 I
1-8 4-5
1-9 4-12
3-6 8-6
3-7 8-8
4-2 9-13
4-3 9-8
4-4 9-12
4-5 9-10
5-1 10-1
5-4 10-10
5-5 10-2
5-6 10-3
6-1 11-6
6-2 11-5
6-3 11-8
6-4 11-3
7-1 11-16
8-5 12-3
9-3 14-20
9-4 14-16
9-5 14-9
9-6 14-17
9-7 14-8
9-8 14-11
10-1 9-4
10-2 9-7
11-2 17-3
11-3 16-4
12-1 19-12
12-2 19-11
12-3 19-16
12-4 19-6
12-5 18-13
12-6 18-11
13-1 19-3
13-2 18-7
13-4 20-11a
13-7 19-9
14-4 20-12
14-8 19-18
14-9 20-7