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korondemoのメモ

記憶の助けとして

ファインマン物理学 I 14-18

2007-12-18 13:49:03 | 物理
物体同士がもっとも近づいているときを考え
そのときの距離を r = a(1 - e) とします．
万有引力定数を G とすると
位置エネルギーは
-GMm / r = -GMm /(a(1 - e))
です．
角速度を ω とし
h = r^2ω
とします．
h^2 /(GM) = a(1 - e^2)
です．(コツ 10-2 参照)
m の速さを v とすると
v = h / r
です．
運動エネルギーは
mv^2 / 2 = mh^2 /(2r^2) = GMm(1 - e^2)/(2a(1 - e)^2)
です．
両者の和は
-GMm /(2a)
です．

ファインマン物理学 I 14-10

2007-12-16 14:49:06 | 物理
水流のてっぺんの高さがホースの口から h_1 とすると
ホースの口での水の速度の垂直方向成分は
√(2gh_1)
です．
水平から 30°上に向けているので
ホースの口での水の速さ v は
v = 2√(2gh_1)
です．
水の密度を ρ
ホースの口の断面積を S とすると
単位時間に噴き出す水の重さ m は
m = ρSv = 2ρS√(2gh_1)
です．
重力加速度を g
水槽の水がホースの口よりも h_2 下にあるとすると
仕事率 W は
W = mgh_2 + mv^2 / 2 = ρS(2g)^(3/2)√h_1(4h_1 + h_2)
です．
効率が e とすると
電源からモーターに入る仕事率は
W / e = ρS(2g)^(3/2)√h_1(4h_1 + h_2)/ e
です．

ファインマン物理学 I 14-6

2007-12-15 11:32:53 | 物理
たとえば
A < B として
A に -Q [C]
B に Q [C] を与えたとします．
真空の誘電率を ε_0 とすると
A, B 間の半径 r の位置の電場 E は
E = -Q /(4πε_0r^2)
ですから A, B 間の電位差は
φ_B - φ_A = -∫Edr = ∫Q /(4πε_0r^2)dr
積分区間は A から B までです．
計算すると
φ_B - φ_A = Q(B - A)/(4πε_0AB)
となりますから
C = Q /(φ_B - φ_A) = 4πε_0AB /(B - A)
です．

ファインマン物理学 I 14-3

2007-12-14 19:44:53 | 物理
a)
F = (3y / 2, 3x^2, -(x^2 + y^2)/ 5)
ということですが
y 軸上では x = 0 なので
F = (3y / 2, 0, -y^2 / 5)
です．
F・(0, dy, 0) = 0
なので 0 です．
b)
z-y 平面内では x = 0 なので
F = (3y / 2, 0, -y^2 / 5)
です．
F・(0, dy, dz) = -y^2dz / 5
は y 軸に対して対称ですから
y 軸に対して対称な経路の場合 0 です．

たとえば
(0, -1, 0) - (0, 0, 0) - (0, 0, 1) - (0, 1, 1) - (0, 1, 0)
の経路では 1 / 5 となり 0 にはなりません．
値の異なる経路があるということは保存力ではありません．

ファインマン物理学 I 14-1

2007-12-11 18:27:37 | 物理
a)
r = (2, 3, 0)
を代入すると力は
F = (4.5, 12, -2.6)
です．
b)
質量を m
加速度を a とすると
ma = F
ですが
m = 1 ということですから
a = F = (4.5, 12, -2.6)
です．
c)
v = (0, 2, 1)
を
T = mv^2 / 2
に代入すると
T = 5 / 2
です．
d)
運動エネルギーを時間 t で微分すると
dT / dt = d(mv^2 / 2)/ dt = mv・a
です．
代入すると 21.4 となります．