ファインマン物理学 I 11-11

重心の速度を v_CM とすると
v_CM = (m_1v_1 + m_2v_2)/(m_1 + m_2)
です．
重心系の運動エネルギーは
実験室系の運動エネルギーから
重心の運動エネルギーを引いたものと等しいので
m_1v_1^2 / 2 + m_2v_2^2 / 2 - (m_1 + m_2)v_CM^2 / 2
です．
整理すると
m_1m_2(v_1 - v_2)^2/(2(m_1 + m_2))
となります．

ファインマン物理学 I 11-10

運動量が保存するので
衝突後の速度を v とすると
m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v
ですから
v = (m_1v_1 + m_2v_2)/(m_1 + m_2)
です．

ファインマン物理学 I 11-7

a)
M から M_1 にかかる抗力を N_1
M_1 の右向きの加速度を a とすると
M_1 の運動方程式は
M_1a = F - N_1 / √2
です．
M が上に動く長さも右に動く長さも
M_1 が右に動いた長さの半分ですから
M_2 から M にかかる抗力を N_2
重力加速度を g とすると
M の垂直方向の運動方程式は
Ma / 2 = N_1 / √2 + N_2 / √2 - Mg
M の水平方向の運動方程式は
Ma / 2 = N_1 / √2 - N_2 / √2
です．
N_1 と N_2 を消去すると
a = (2F - Mg)/(M + 2M_1)
となります．
b)
右斜め上 45 度の向きに
√2a = √2(2F - Mg)/(M + 2M_1)
です．
c)
N_2 について解くと
N_2 = Mg / √2
です．

ファインマン物理学 I 10-9

運動量が保存するはずなので
中性子の質量を m_n
炭素原子の質量を m_C
衝突前の中性子の速さを v
衝突後の中性子の速さを v_n
衝突後の炭素原子の速さを v_C とすると
m_nv = m_nv_n + m_Cv_C
です．
完全弾性衝突ということですから
運動エネルギーも保存するはずなので
m_nv^2 / 2 = m_nv_n^2 / 2 + m_Cv_C^2 /2
です．
v_C を消去すると
v_n についての 2 次方程式
(m_n + m_C)v_n^2 -2m_nvv_n + (m_n - m_C)v^2 = 0
となります．
これを解くと
v_n = (m_n - m_C)v /(m_n + m_C)
です．
E = m_nv^2 / 2 ということですから
衝突後の中性子の運動エネルギーは
m_nv_n^2 / 2 = ((m_n - m_C)/(m_n + m_C))^2E
です．

ファインマン物理学 I 10-4

a)
運動量が保存するので
mv = (m+ dm)(v + dv) -dm(v - V_0)
となります．
整理すると
mdv = -V_0dm
です．
dv/dt = -V_0dm / mdt
とすることもできます．
dm/dt = -r_0
ということですから
t = 0 で m = M_0 であることも考慮すると
m = M_0 -r_0t
です．
したがって
dv/dt = V_0r_0 /(M_0 -r_0t)
です．
t = 0 では
dv/dt = V_0r_0 /M_0
です．
b)
推力を F とすれば
mdv/dt = F
です．
t = 0 の推力が F ならば
M_0dv/dt = V_0r_0 = F
ということなので
r_0 = F / V_0
です．
c)
dv = -V_0dm / m
ということですから
t = 0 で v = 0 であることも考慮すると
v = V_0log(M_0 / m) = V_0log(M_0 / (M_0 -r_0t))
です．

ファインマン物理学 I 9-14

上のひもから全体にかかる張力を T
下のひもから全体にかかる張力を T
全体の右向きの加速度を a とすると
全体の運動方程式は
(M + m)a = 2T
です．
全体が右に動いた距離の倍だけ
m は下に下がりますから
m の下向きの加速度は 2a です．
したがって
重力加速度を g
ひもから m にかかる張力は T とすると
m の運動方程式は
2ma = mg - T
です．
T を消去すると
a = 2mg /(M + 5m)
です．
M = 11m ということですから
a = g / 8
です．
全体が S / 2 だけ右に動くと
m は台にあたりますから
at^2 / 2 = S / 2
です．
t について解くと
t = √(S / a) = √(8S / g)
となります．

ファインマン物理学 I 9-11

a)
全体に対する運動方程式は
加速度を a とすると
(M_1 + M_2)a = F - (M_1 + M_2)g
ですから
a = F /(M_1 + M_2) - g
です．
b)
M_1 に対する運動方程式は
M_1a = T - M_1g
ですから
T = M_1(a + g) = M_1F /(M_1 + M_2)
です．
c)
エレベーターの運動方程式は
エレベーターの加速度を a_2 とすると
M_2a_2 = F - M_2g
ですから
a_2 = F / M_2 - g
です．
M_1 の運動方程式は
M_1 の加速度を a_1 とすると
M_1a_1 = -M_1g
ですから
a_1 = -g
です．
d)
M_1 に対するエレベーターの相対加速度は
a_2 - a_1 = F / M_2
M_1 に対するエレベーターの相対速度の初期値は 0 です．
したがって
M_1 がエレベーターの床に当たる時間を t とすると
(a_2 - a_1)t^2 / 2 = S
です．
したがって
t = √(2M_2S / F)
です．

ファインマン物理学 I 9-5

万有引力定数の単位は
m^3/(kgs^2)
です．
したがって
G'=λ^3/(μτ^2)G
です．

ファインマン物理学 I 9-3

a)
水平から θ の角度の方向へ
速さ V で投げ上げたとき
高さ h で水平に進む
すなわち高さ h が最高点だったということです．
速度の垂直方向成分は Vsinθ ですから
重力加速度を g とすると
h = V^2sin^2θ /(2g)
です．
したがって
V = √(2gh)/ sinθ
です．
b)
速度の水平方向成分は Vcosθ ですから
位置の座標は
x = Vcosθt
y = Vsinθt - gt^2 / 2
です．
t を消去すると
y = tanθx - gx^2 /(2V^2cos^2θ)
です．
d^2y/dx^2 = -g /(V^2cos^2θ)
となりますから
曲率半径 R は
R = V^2cos^2θ / g = 2hcot^2θ
です．

ファインマン物理学 I 9-1

速度の向きが水平からθの角度だったとすると
V_x = Vcosθ
V_y = Vsinθ
と表せます．
速度を t で微分して加速度 a の各成分を求めると
a_x = dV/dtcosθ - Vsinθdθ/dt
a_y = dV/dtsinθ + Vcosθdθ/dt
です．
加速度の向きが力の向きですから
力と速度が直交するということは
加速度と速度が直交するということ
すなわち加速度と速度の内積が 0 ということです．
dV/dt = 0
ということですから速度の大きさは一定ということです．
したがって
a_x = -Vsinθdθ/dt = -V_ydθ/dt
a_y = Vcosθdθ/dt = V_xdθ/dt
ということです．
F = ma
ですので
F_x = -mVsinθdθ/dt
F_y = mVcosθdθ/dt
となりますが
F = βV ということですから
β = mdθ/dt
です．
β は定数ということですから
ｄθ/dt = β / m
も定数ということです．
t = 0 で θ = 0 となるように見る向きを選ぶこととすると
θ = βt / m
です．
V_x = Vcos(βt / m)
V_y = Vsin(βt / m)
ということですから
t について積分すると
x = (mV / β)sin(βt / m)
y = -(mV / β)cos(βt / m)
となりますが
これは半径 R = mV / β の円軌道です．
t = 0 で x = 0, y = - R となる位置に
原点を選ぶこととしています．